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. 2 — enthält, mit ieseerur n zu multipliziren und im Zähler jede Potenz, welche 1

die 2. übersteigt, mit Hülfe der gegebenen Gleichung wegzuschaffen ist. Man findet aber:

d ——— 2- 2:—— 2 mE Ip dh m qu p-n+ m q ma. Im n-mq p-n Pm ²2-mqa. n p-m d dz-m qa-n. n p-m—æ m. qæ-m qa-n—. 1 x X2 p mda m qt qa-n qz 2 br 12² Die Multiplikation von mit Marel. m und das Wegschaffen 1

der hierbei vorkommenden 3. und 4. Potenzen von X ist leicht auszuführen, im übrigen

aber sind die Rechnungen ganz dieselben, wie bei den reinen Gleichungen 3. Grades.

Man kann nachweisen, dass jede Grösse, die sich in einen periodischen Kettenbruch 2. Ordnung verwandeln lässt, eine Irrationale 3. Grades ist. Beginnt nämlich die Periode mit ap und by und besteht sie aus k Gliedern, so dass ap= aàp+ k, bp= bp+† k ist, So

.. bp+†1.... kann man die ins Unendliche fortlaufende Summe ap+ br.. mit yp, die Summe ap+ 1+†.. 1 8 1 7. 3 3 bp Peſ mit Xp bezeichnen. Es ist dann offenbar auch yp= yp+ k, Xp= XD k, und p+ 1.. man hat eine Anzahl Gleichungen für x, wie: x Gb Ny- 1+† Nr- 2+ Np- ³)= yp Xp- 1+ Xp Xp 2+† Xp- 3,

X(Np No-k 1— Xp Np+ k 2+ Np+ X ³)= Vp XpP 4- 1— Xp Xp+ k 2— Xp k 3, X Gp Np+ 2 kK- 1+ XP Np+ 2 kK 2+ Np+ 2K- 3)= Yp Xp+ 2 k-I+ XD Xp+ 2 Kk 2—+ Xp X-,

X(Tp XpP 1+† XD XpP 2+ XP ³)= yp IpP 1+ Xp Ip= 2+ Yp 3, X(YP Xp E- 1+ XD XpPk- 2+ Xp+ k 3)= yp Yp+ K- 1+† xp Yp+ k- 2+ Ip X- 3, oder:

(X N*— Xp— 1) Yp—(X Np— 2— Xp— 2) Xp+(XNpPO 3— p= ³) 0, ( Np+ k— Xp+ kK- 1) yp— Np+ X— 2— Xp+ K 2) Xp—(X Np+ k- 3— Xp+ k 3)= 0,

Xp 1— Yp— 1) yy+(X Xp— 2— Yp 2) X+ CXp 3— Yp 3)= 0.

Da jede Determinante von irgend 3 dieser Gleichungen den Werth 0 hat, so erhält man für x eine Anzahl Gleichungen 3. Grades, die sich sämmtlich nur durch einen con- stanten Factor unterscheiden können, also z. B.

XNp— 1— XpS 1 XNp— 2— Xp 2 XNp- 3— Xp— 3— 0. XXp 1— YpS 1 XXp 2— Yp 2 X Xp 3—. Yp 3 XNp-X 1— Xp+ kK 1 XXNp k- 2— XP k- 2 XXNp+ k- 3— Xp+ k 3

Eine besonders wichtige Frage ist die nach dem Maasse, in welchem sich die Näherungs- werthe dem wahren Werthe von x nähern. Es kommen hierbei hauptsächlich die drei Werthe: