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Jede aus vier aufeinander folgenden Vertikalreihen gebildete Determinante hat den
Werth 1. §. 2
Als die wichtigste unter den Anwendungen, welche man von den Kettenbrüchen höherer Ordnung machen kann, ist schon oben die Verwandlung der irrationalen Wurzeln einer Gleichung nten Grades in einen Kettenbruch(n— 1)ter Ordnung bezeichnet, da sich hierbei Perioden für die a, b, c.. ergeben und die Unterschiede zwischen den einzelnen Näherungs- werthen und dem wahren Werthe der gesuchten Wurzel sich jedesmal mit grosser Genauig- keit bestimmen lassen.
Hat man zunächst die irrationale Wurzel einer reinen Gleichung 3. Grades: X= a in die verlangte Form zu bringen, so setzt man einen Ausdruck von der Form:
IMEEAnXAp T
.. TXPs X 1 4 X' einen anderen, von der Form f=N wobei es, da die
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Werthe von m, n... 8, t beliebig gewählt werden können, offenbar am einfachsten ist,
12 N und= N z2u setzen. Dies soll im Folgenden, wenn es nicht ausdrücklich 1
anders bemerkt ist, stets geschehen, da sich alle Untersuchungen und Resultate leicht auf den Fall ausdehnen lassen, dass m, n, p... t andere Werthe haben. Man bestimmt nun die in Xz enthaltenen Ganzen= ao, die in x enthaltenen= bo; der zu ao gehörige Rest Ro= X2— ad enthält 4„ der zu bo gehörige Rest ro= X— bo 1 5 enthält—. Man findet also a, als die Ganzen aus
a 21 1 e bo bo 4 12+† boX+ bo²— a,(A— ba³). =o 1— b⸗ aà— bos 1 à— bo³ 3 .. b der zu al addirte Quotient enthält—2. Nun sucht man bi, indem man den 8 enthal- 22 6 1 N. ao X2+ ba X+ bo²— tenden Quotienten—— ¹o mit dem a, enthaltenden“ 15 1 multiplizirt, wobei man — bn
alle Potenzen von x, welche die zweite überschreiten mit Hülfe der Gleichung XB= a be- seitigt und erhält dadurch: —(ao= b2) X2—+(a— a0 bo)X+(A— a bo) bo
àa— bo³ b.=(ao= ba- x2(a— au be) X-(a— au bo) b—(4— bos) b. 1 àa— bo³ Dieser letzte zu b. addirte Quotient enthält 4 sein reziproker Werth ist also so 22 umzuändern, dass der Nenner rational ist. Man erhält dadurch: 1 X X2:=bi-a0+ bo bi a’ 1=b.- ao+ bo bt 41-b.- à0+ bo b.
-ao bo? a-ao bo(aA-ad bo) bo-(à-bos) b-a0+ bo⸗ à- à0 bo(4-an bo) bo-(a- b*) b;