X X E,: 2l. 24— 23+ 4=o 2 As 0. 2 (69) 1 2 3 4 X X X X Ee: 1 2 4= 0 dl ½ 9.z 94 X X X. X E.:— X. 2 4. 34 6. 1 01 14 ½ 8 3 1 4 Die Ecken dieſes Tetraeders— 211, ½, 3, ꝛc.

ſind alſo vier weitere Knoten der Fläche und ſind für dieſelbe die Punkte a, b, c, d, mit denen die ag, bo, co, do zuſammengefallen ſind. Die Fläche ſelbſt hat die Gleichung: XL L XZ Xg XA A L l— do(tee ee in) ſergi es c t ee.. und iſt von Handel und Eckhardt(a. a. O.) ausführlich behandelt worden. Hier möge noch erwähnt werden, daß bei der Erzeugung dieſe Fläche nach Graßmann’'ſcher Art die beiden Tetraeder a’, b'’, c, d' und a, b, c, d mit einander vertauſcht werden können. Denn man kann die Gleichung(50), die in unſrem Falle lautet:

XI Gd X: Xa:. Xa:? 1 E R S 4+4= auf(70) zurückführen. Multipliziert man noch die letzte Gleichung mit 2, addiert alsdann zu jedem der

vier erſten Glieder 1 und ſubtrahiert wieder 4 von der linken Seite, ſo kann dieſe Gleichung auch in der Weiſe geſchrieben werden: 2

1 1 1 1 (ru) EHEAE, RE E

3

woraus man ihre Beziehung zu dem Pentaeder Ei, Ee, Es, Ea(69) und E= Vn= o erkennt und ohne

weiteres entnimmt, daß auch die Kanten des Tetraeders abed auf der Fläche liegen und ſomit deſſen Ecken vier weitere Knoten ſind. 3

B. Der Ebenenort.

I. Zu jedem Punkte x des Punktortes gehört eine Fußpunktebene, giebt man alſo x alle möglichen Lagen, ſo umhüllt die Fußpunktebene eine Fläche, den Ebenenort, deſſen Gleichung jetzt gefunden werden ſoll. Wir können von ihm wegen ſeines dualen Zuſammenhanges mit dem Punktorte behaupten, daß er 4. Klaſſe ſein muß. Um ſeine Gleichung zu erhalten, ſetze man die Koordinaten der vier Fußpunkte(43) in die Gleichung der Ebene

(72) uixi+ ugxe † usX+. UX= o ein und ordne nach x. Alsdann kann man die Gleichung des Ebenenortes in die Form bringen: Laiui 0 0 0 al u 0 Lbiui 0 0 baug 0 0 Yciui 0 cus= 0 0 0 0 Ldiuij dau 1 1 1 1 1 oder: al u bzua Ca ug dau (73) Yaiui Ebiui 1 Xciu 4 Ydiu 3 In