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Zweiter Teil. Übertragungen unſ den Raum.

A. Der Punktort.

I. Überträgt man die Graßmann'ſche Erzeugungsweiſe der Kurven 3. Ordnung auf den Raum, ſo haben wir hier das Problem*⁴) zu ſtellen: Den Ort desjenigen Punktes zu beſtimmen, deſſen gerade Verbindungslinien mit vier feſten Punkten vier feſte Ebenen in vier Punkten einer Ebene ſchneiden. Werden die vier feſten Ebenen als Koordinatentetraeder a’b’ cd' angenommen, ſo findet man als Koordinaten der vier Fußpunkte, wenn a“, bi, ci, di(i= 1, 2, 3, 4) die Koordinaten der vier feſten Punkte a, b, c, d bezeichnen:

0(alXz)(aixa)(aiX.) (43)(bxi) 0(bexs)(bexa) (ca xi)(caxX) 0(Cs Xa)

(d.X)(daX)(daxz) 0

Die Bedingung, daß dieſe vier Punkte in einer Ebene liegen, iſt das Verſchwinden der Determinante ihrer Koordinaten, die durch Rändern auf die Form gebracht werden kann:

V ag az àa, 41

V 1 22 ai e r

b

bE b; b b.*

1 2 3 Da. x. 44). ²y— 0 ci c e 2

d

V du de dz d. 5

XI XE Xz X 1

Setzt man hierin al ag 2az aal

(45) àA= b b. b⸗ b. c-i C ca C. di de da d.

und bedeuten Ai, Bi, Ci, Di die Subdeterminanten der Elemente au, bi, ci, di, ſo kann(44) auch ſo geſchrieben werden:

(46) 21 LAk Xi— b⸗ LBixi— 9 XCixi— 4. Dixi— A— O, XI X X XA worin AANI= o die Gleichung der Ebene bed (47) TBxI= o-„„ 5„ 26 XCI— O„„„„ abd IDMI= 0„„„„ abe vorſtellt.

*) Vergl. Otto Handel, Das räumliche Analogon eines Steiner'ſchen Problems der Ebene.