17
beſtimmt und hat die Gleichung: — k A 24(Kk— welcher mit derjenigen der Harmonikalen 8 fe A Whee(35). Alſo: Die Verbindungslinie eines Punktes A des Kegelſchnitts L 40 mit den Punkten: 32 a
— 21 ⁴, ³g;.— 222..1,— 4 2 27 33 1 2 3: 1, 2 2. desſelben ſchneiden die Seiten des Koordinatendreiecks in Punkten einer Geraden, welche die Harmonikale des Punktes A iſt.
X. Im Vorhergehenden wurde der Fall nicht beſonders berührt, daß die drei Punkte a, b, o gleich⸗ zeitig auf der unendlich fernen Geraden liegen. Er bietet aber auch nichts weſentlich Neues dar; denn auch hier muß nach VI die Kurve in die Gerade der drei Punkte, alſo die unendlich ferne Gerade und in einen dem Dreieck umſchriebenen Kegelſchnitt zerfallen. Es ſoll nur noch gezeigt werden, daß dieſer Kegel⸗ ſchnitt in einen Kreis übergeht, wenn die a, b, c die unendlich fernen Punkte der Normalen der Dreieck⸗
ſeiten ſind. Werden dieſe letzteren in dem Eckpunkt x= X.= o errichtet, ſo ſind ihre Gleichungen
XI Cos—+ X.= 9 XI+. XzZ cos—= 0 XI Cos l bl— XZ Cos.ᷣ= 0
und aus dem Schnitt dieſer mit der unendlich fernen Geraden Xi sin al+ Xa sin a+† Xs sin a= 0 ergeben ſich die drei unendlich fernen Punkte der Normalen durch die Koordinaten: — 1, cos, cos ½
Cos%,— 1, cos C0s ⁴ϑ, cos αι,— 1. Und mit Hilfe dieſer wird:(vergl. VI.) al Al=— sin 2a, be B=— sin an sin 22, ca Ci=— sin à, sin ag. Somit geht jener Kegelſchnitt al Al A, be BI 32 c Cl x. X über in sin dH sin ³ν 3. sin a X s
welcher in der That ein Kreis iſt.
B. Der Geradenort.
I. Zu jedem Punkte x der im Vorhergehenden betrachteten Kurve 3. Ordnung gehört eine Fußpunkt⸗ gerade. Dieſe muß eine Kurve 3. Klaſſe umhüllen; denn ſie bewegt ſich ſo, daß ihre drei Schnittpunkte mit drei feſten Geraden verbunden mit drei feſten Punkten drei Geraden ergeben, die ſich in dem Punkte x ſchneiden und dieſe Eigenſchaft entſpricht dualiſtiſch der dem Punkte X auferlegten Forderung. Um die Gleichung dieſer Kurve 3. Klaſſe zu erhalten, ſei
(39) uixi+† uexe+ usxg= o0 die Gleichung der Fußpunktgeraden, welcher die Koordinaten(6) der drei Fußpunkte genügen müſſen. Setzt man dieſe daher in(39) ein und ordnet gleichzeitig nach den x, ſo erhält man für die Unbek. X die drei
Gleichungen:(agug † ag ug) XI— a1uax.— arusx,= o — beuixi+(biui † bausX2— bausxs= 0 — cazuixi— cauzxex+(ciu+† czusxs= o,