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welcher Punkt auf der Harmonikalen von A liegt. 3) tz und to in

B. kK, e el, 372 R 2 2, Zk=I. R1 32⸗ 3. k—— k+ wobei B’ der Harmonikalen von— x—— X+ bk X= o angehört. 1 22 3

Dieſe Reſultate können wir ſo zuſammenfaſſen: Iſt C ein Punkt des Kegelſchnitts L 2 o und ſind A und B die Schnittpunkte der Harmoni⸗ i

kalen von C mit dem Kegelſchnitt, ſo gehen die Tangente in einem der Punkte A oder B, die Harmonikale dieſes Punktes und die Tangente in C durch denſelben Punkt.

Bezeichnet man noch den Schnittpunkt von AB und to mit C, der nach(IX, a) auch auf der Kurve liegt, ſo kann man nachweiſen, daß die 4 Punkte A“, C, B, C' vier harmoniſche Punkte ſind; denn es läßt ſich zeigen, daß die Gleichungen der vier Strahlen aA“, 2B’, 2C, 2C bez. von der Form ſind:

u= o, V= o, Dbi u+„e v= o, Pl u— pe v= O wo. 21=(2k- 1) K- 2)(K+ 1), 62= 3 k K- ¹); folglich ſind dies vier harmoniſche Strahlen und demnach A, C, B, C vier harmoniſche Punkte.

c) Welchen Ort beſchreiben die Punkte A’ und B'“? Der Ort von A“, des Schnittpunktes der Tangente in A und der Harmonikalen von A, ergiebt ſich durch Elimination von k aus den Gleichungen dieſer Ge⸗ raden. Man erhält dadurch zunächſt die Gleichung:

I(A— 2**.* r 21) e 1 6 3 155 21 24 15 6 22 Ad die in die Form gebracht werden kann: — X 1 2 1 Gi 2)(a e tz3)-d Denſelben Ort erzeugt auch der Punkt B’, wie man ig auf Donſelben Weg überzeugen kann. Daher:

Sind A und B zwei Punkte des Kegelſchnitts 22=o auf derſelben Geraden mit à‿ und iſt

C ein Punkt des Kegelſchnitts, deſſen Harmonikale A B iſt, ſo erzeugen die drei Schnittpunkte A’, B, C' der Tangente in C mit den Tangenten in A, B und der Geraden AB die Kurve

3. Ordnung 12. 22— 9= 0 und die Punkte A’, C, B., C' ſind vier harmoniſche Punkte. Ai 1 d) Die thatſächliche Konſtruktion dieſer Kurve erfordert die wiederholte Konſtruktion der Harmonikalen zu Kegelſchnittpunkten, wozu nach(IX, a) das mehrmalige Ziehen und Schneiden von geraden Linien gehört.

Es giebt aber ein einfacheres Verfahren zur Konſtruktion plcher Harmonikalen, wozu nur zwei Hilſslinien

nötig ſind. Verbindet man nämlich den Punkt A(* Punkten desſelben(VIII, a)

r ,22, K r des Kegelſchnittes L 2l=o mit den drei Xi

1. ½ 23 — 2, ²2, 2 3391,— 2, 2311 21, 22, 2,

und beſtimmt die Fußpunkte dieſer Verbindungslinien auf den Seiten des Koordinatendreiecks, ſo liegen dieſe nach(VIII, a) in einer Geraden. Dieſe iſt ſchon durch zwei ſolcher Fußpunkte, etwa:

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