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in dieſe Gleichung ein und ordnen nach ſteigenden Potenzen von„. Dann erkennt man, daß der Koefficient von„ für vI=( verſchwindet und dies iſt die Bedingung, daß Ci ein Doppelpunkt der Kurve iſt. Der Koefficient von„? gleich Null geſetzt, nämlich (18) Ce Lasxi(Cixs)- A+† Ci Ybixi(Cex) · H.= 0 ſtellt die Tangenten in dem Doppelpunkt dar. Um die Zerlegbarkeit dieſer Gleichung in zwei lineare Faktoren in's Auge treten zu laſſen, ſub⸗ ſtituieren wir: yi für Yaſxi, ye für Abixi, yz für X, wodurch die Gleichung übergeführt werden kann in (19) NbeCeyi²+ balCiye—(. ag(e+ LbiCi)yiye= 0, woraus die Zerlegbarkeit erſichtlich iſt. Dieſe Faktoren ſind reell und verſchieden, reell und gleich oder imaginär, je nachdem (20)(a Ce+ Lb l)“— 4 a b. C1C2 2 0 und dementſprechend giebt es in dem Doppelpunkt zwei Tangenten, oder nur eine(Spitze) oder gar keine (iſolierter Punkt). Mit den geſtaltlichen Verhältniſſen der Kurven in dieſer Hinſicht hat ſich insbeſondere

Kölmel*) beſchäftigt, indem er auf ſynthetiſchem Wege gefunden hat, wie die Graßmann'ſchen Elemente liegen müſſen, damit Kurven mit Doppelpunkt entſtehen.

VII. Im Folgenden wollen wir vorausſetzen, daß die drei Punkte a¹, b’, c“, durch die nach(IV, 3) die Kurve geht, in gerader Linie liegen. Sei die Gleichung dieſer Geraden:

X X X L 20 22reree ſo ſind— 8 4.e. 22=o, (22) a. nier eengee X 2 T.

drei Geraden, die bez. durch die Schnittpunkte au, b’, c“ von(21) mit XI= 0, X.= 0, X.= o hin⸗ durchgehen. Haben auch hier die Geraden(22) die Bedeutung derjenigen in(14), beſtimmen ſie alſo durch ihre Schnittpunkte die Punkte a, b, c, ſo iſt dieſer Fall ein ſpecieller von jenem. Führt man der Kürze halber

die Bezeichnungen ein 1 1„ Sinan A. eirrß 4 1 1 1. v Ar 1=4.

1 1. e keaflal=,

ſo ſind die Koordinaten der Punkte a, b, c bez.:

3 1½ H . 2 3 a: aip,, 9 r 2 23 1. 1„§ 93 (23) b:—*,—*2, P 1 d21 922. e:, 2,— 3631 P d

*) Die Graßmann'ſche Erzeugungsweiſe von ebenen Kurven 3. Ordnung.