8—
An die letzte von den Gleichungen in(7) ſchließt ſich ein ſpecieller Fall an. Liegen nänlich die drei Punkte a, b, c in gerader Linie, ſo iſt A= 0 und Bi= k Ai, Ci= X Ai, folglich geht die Gleichung der Kurve 3. Ordnung über in:
al Al 1. ea cz— Daher: E.AiI( XI Lrui 9.
Im Falle die drei Punkte a, h, e in einer u Geraden liegen, ſo zerfällt die Kurve 3. Ordnung in dieſe Gerade und in einen dem Fundamentaldreieck umbeſchriebenen Kegelſchnitt. Behandelt man dieſen Fall ſo, daß man die Koordinaten von c in denen von a und b ausdrückt, alſo
ci= kai+ Xbi und dieſe Werte in die vierreihige Determinante in(7) einſetzt, ſo ſtellt ſich der eben erwähnte Kegelſchnitt dar durch die Gleichung: ka ka. Xb. — 1n wee a 0, 3 woraus man erkennt, daß auch dieſe riducibel iſt, wenn k=„ bz, X=—„ az gewählt wird. Der
Punkt c hat alsdann die Koordinaten(a bz),(a2 bz), o und iſt der Schnittpunkt von ab mit X= o und der Kegelſchnitt zerfällt in die zwei Geraden xx— o, albsxe— agbexi o, von denen die ketztere die Verbindungslinie des Punktes c)(IV, 4) mit c' iſt. VI. Es iſt von Intereſſe, auch die drei Punkte a, b, c durch die Schnittpunkte von drei Geraden anzugeben. Seien dieſe: (14) Yaixi= oO, Ybxi= o, Ycxi= o, ſo haben die drei Punkte a, b, c die Koordinaten Ail, Az, As; Bl, B, Ba; Ci,(², Cz und die Gleichung der Kurve 3. Ordnung lautet(nach 7)
A
Ai Az As 11 B2
(15) Ih Se Pg) w, V= 0
C
C C. C. A
1 2 Ot x V
XI Xg XS 1
oder entwickelt: (16) ₰ Xaxi n 2 Tb+ 5 Lorxi— 7X=Z o,
wo die Determinante der Koeffiienten der Gleichungen in(14) iſt. Hieran ſchließt ſich der Fall an, daß die drei Punkte a, b, c in einen zuſammenfallen. Dies geſchieht, wenn die drei Geraden(14) durch denſelben Punkt gehen, dann muß M△o ſein und Loni kann in der Form geſchrieben werden *. Laixi L. Lbrxi. Unter dieſen Vorausſetzungen geht die Gleichung(16) über in (17) Xz(CiXa) Xakxi. X+†(XCeXa) Ybixi B.= o.
Um die Natur des Punktes Cr, des Schnittpunktes der Geraden L a xi= Y bi xi= o, der
offenbar auf dieſer Kurve liegt, zu unterſuchen, ſetzen wir I= yI † HX