Faßt man hierin die Yaiui, Ybiui, Yciui als die Unbekannten auf, ſo iſt die Bedingung für die x:

(biXx:)(aexi) 0 (C.X) 0(alXx;)= 0 0(ex)(boxe.) oder:(a1Xz)(Psxz)(caxi)(alxs)(bzxi)(GX)= 9,

alſo dieſelbe Gleichung wie in(7). Daher:

Die Dreiecke abe und a’b'’c' dürfen bei der Erzeugung des Ortes des Punktes x miteinander

vertauſcht werden.

IV. Aus den Gleichungen(7) unſrer Kurve 3. Ordnung erkennt man ſofort 12 Punkte“), durch welche

die Kurve geht, nämlich:

1. die Punkte a, b, c,

2. die Punkte a“, b'’, G,

3. die Punkte a“, b’,“, in denen die Geraden be, ac, ab die Seiten b'C†, a¹c, a'b' des

Dreiecks a’b'c' ſchneiden, 4. die Punkte

2 03 a0: 1 5—5 0 1 1. bi C1 a C bo: 4, 1,— 42 C2 . 2½ b2 1 c: 3 b.— 33 3

in denen ſich der Reihe nach die Geraden**): (bzxi)=(C.xi) o oder bo' und b'c (aixa) e(C.Xz²) 0„ ac„ ac (AalX;)=(baxz) o„ ab„ ab ſchneiden.

V. An der unten angegebenen Stelle hat Schröter eine Konſtruktion der allgemeinen Kurve 3. Ordnung aus drei Punktenpaaren a—a“, b— b'’, c—cC angegeben, die, wie ſich Clebſch ausdrückt, das Äußerſte, was Einfachheit anbelangt, leiſtet, und Clebſch(Vorl. üb. Geom., p. 538) hat den Zuſammenhang dieſer Er⸗ zeugungsweiſe und der Graßmann'ſchen angegeben, wonach dieſelbe Kurve, die nach Graßmann'’ſcher Weiſe aus den Punkten a, b, c und den Geraden axv, Bx, 7x(deren Schnittpunkte a', b', c ſind) erhalten wird, auch nach Schröter'ſcher Weiſe aus den drei Punktenpaaren a— a', b— b'’, c—e konſtruierbar iſt. An derſelben Stelle weiſt Clebſch nach, daß es vier Dreiecke giebt, deren Ecken auf der Kurve 3. Ordnung liegen und deren Seiten einzeln durch drei auf der Kurve gegebene Punkte gehen, durch welche nach Graßmann'ſcher Art die Kurve erzeugt werden kann. Sind a“, b',“ dieſe drei letzteren, aber beliebigen Punkte der Kurve, ſo konſtruiert Clebſch die erwähnten vier Dreiecke auf folgende Weiſe:„Wir verbinden b“, C“ durch eine Gerade, welche die Kurve noch in d treffen möge, ferner werde die Kurve von der Linie a“ d noch in a“ geſchnitten. Von letzterem Punkte a“ aus ziehen wir eine Tangente an die Kurve, deren Berührungspunkt a ſei; die Verbindungslinien von a mit b“' und c“ mögen ferner die Punkte c und b auf ihr einſchneiden. Dann iſt abe ein Dreieck der geſuchten Art. Da es vier Punkte a giebt, ſo giebt es auch vier Dreiecke abc.“ In unſerem Falle ſind zwei ſolcher Dreiecke, abc und a b'c, und ſomit auch die Punkte a“,b’“,c“(vergl. IV, 3) von vornherein gegeben. Um die zwei andern Dreiecke zu erhalten, iſt der Punkt a“ d. h. der gemeinſame Tangentialpunkt von a und a’ nötig. Dieſen kann man auf lineare Weiſe wie folgt konſtruieren: Der

1 l

*) Vergl. Clebſch⸗Lindemann, p. 538 oder Math. Ann. Bd. V, p. 424. **) Vergl. Schröter, Math. Ann. Bd. V.