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Die Ungleichungen(28) und(29) lehren, dass im Ganzen vier verschiedene Fälle möglich, die in nachstehender Tafel aufgeführt sind.

I d== d4 6d2— Xz— ds— 33 II 6= I= 64= da= x2= 93= 35 III di= xI= d2= 64= X2= d5= 63 IV G= I= d2= d6= xZ2 63= 65.

Der Zweck dieser Arbeit ist nun— wie schon oben erwähnt— alle jene Fälle zu ermitteln und zu behandeln, in denen die hyperelliptischen Integrale zu elliptischen werden, unter der Voraussetzung, dass der feste Körper in Bezug auf Gestalt und Massenverteilung den Charakter des dreiaxigen Ellipsoids behält. Es sind mithin die Fälle aufzusuchen, in denen der Radikand von R(x) von nicht höherem als vierten Grade wird, ohne dass unter den drei Grössen di, de, s zwei einander gleich werden. Dies tritt ein, falls da oder ds in eine der drei Grössen di, dꝛ, ds übergeht oder falls da= ds wird. Mit Rücksicht auf obige Tafel ergeben sich im Ganzen folgende neun Fälle:

1. d= 1= 64= da= X2= 65— 63

2. di xi= 62=64= X2= 5— 93 3. d x1= 64 d= x2= 85=— 95 4. d= XI= 6—§da= x= 63= 5 5. di— XI= 62= 35= 83 6. Gr= xI 6 dæ= xz= ds=. 05

7. di= XI= d 6= X= 35= 33 8. di=²C xI 6d2—== 63= 05 9. di= xi= 62 64 Xz= 65 33.

Bevor wir zur Betrachtung der einzelnen Fälle schreiten, sollen die Integrale, durch deren Umkehrung wir die Hülfsveränderlichen und xs oder ihre transformirten Werte in Function der Zeit darstellen, unter der Annahme behandelt werden, dass irgend zwei und nur zwei der fünf Grössen einander gleich sind.

Wir setzen:= di= dk(i, k= 1, 2, 3, 4, 5) und bezeichnen die drei übrigen ⁴ ihrer Grösse nach mit ei, e², es, so dass: 81— à*2— 8. Dann wird: R(X)=(e— x) R(X), wo: R(x)= V(ei— x)(es—)(8— v). Die Differentialgleichungen(31*) werden:

de 4 x*X dt (e— XI) R(xi)(— Xz) R(Xe) 7 XI dxi X2 dx= 2k V7

(— Xi) R(xi)(e— xXZ2) R(Xz) 7 t