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Aus dieser particulären Lösung zieht Kirchhoff dann den Schluss, dass es für jeden Körper 3 und im Allgemeinen nur 3 zu einander senkrechte Richtungen gibt, in denen derselbe in der Flüssigkeit fortschreiten kann, ohne sich zu drehen.

Als Integrale dieser Systeme gibt er an:

(1’) 2T= h 5 91— 5+ 0 4. 4 a ow S L 0p an 24 4 a3 dor 1 Ak k — 5 21 (12)—9 4. 8= k’(13) 91 2. a † 8.=* 2— ak“ 41 0+ 1 5 51 21 921+—= k“ 1— 1* 7— 71 zu 1 7 e k 71 I n i r ee i

wo h, k, k’, k“, 1, 1“, 1“ willkürliche Constanten sind. Aus diesen beiden Gruppen folgen auch die

Gleichungen: 61[ 2 0/◻ 12 T 12 (14)()—()+()= E † B2. K 2 du 9v

Ow 91 1 61b 0† 61 9 du p 4 Ir 4 Ow or

Liegt ein Körper vor, der in Rücksicht auf Gestalt und Massenverteilung mindestens zwei Paare aufeinander senkrecht stehender Symmetrieebenen besitzt, welche alle durch die XAxe gehen, so nimmt— bei passender Wahl des Coordinatenursprungs auf der xAxe— der Ausdruck für die doppelte kinetische Energie des ganzen Systems die Form an:

(16) 21= Ap+ B(qꝛ+ re)+† Al u⸗+ B1(v2+ w)).

Für solche Körper, die nach Gestalt und Massenverteilung den Charakter eines Rotations- körpers besitzen, hat Kirchhoff das Problem weiter behandelt und gezeigt, dass es auf die Umkehrung elliptischer Functionen führt.

In zwei speciellen Fällen hat er dasselbe vollständig zu Ende geführt; nämlich in dem Falle, dass der Körper um seine Rotationsaxe nicht rotirt und diese Axe eine feste Ebene nicht verlässt, und zweitens, falls ein Punkt der Rotationsaxe eine Schraubenlinie beschreibt. Anknüpfend an diese Kirchhoff'sche Abhandlung, ist von Köpke¹¹) der allgemeine Fall der Bewegung eines Rotationskörpers insofern erledigt worden, als er alle veränderlichen Coefficienten in Functionen der Zeit mit Hilfe von Thetafunctionen darstellt und die Aufgabe so der numerischen Berechnung zugänglich machte.

Diese Köpke'schen Formeln sind dann von Schülke:) vereinfacht worden, und es ist gezeigt, wie man durch kleine Umformungen der Kirchhoff'schen Gleichungen in allen Fällen eine deutliche Vorstellung des Bewegungsvorganges gewinnen kann.

Clebsch hat im 3. Bande der Mathematischen Annalen das System der Kirchhoff'schen Differentialgleichungen einer genaueren Betrachtung unterzogen und drei neue Fälle angegeben, in denen das Problem auf Quadraturen zurückgeführt werden kann.

— kl+ k“ 1* 4 Kℳ L.

¹) Mathematische Annalen XII. Band, pag. 387. ²) Inaugural-Dissertation, Königsberg 1882.