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und indem wir die Reihe 1 davon abziehen, ſodann du 4 dx dividiren: cos. x= k+ 3Ax*+ 5B+/70+. 3)+ Ghenſo folgt aus der andern Gleichung: 00s. X— dx. sin. x.σ☛☛+ a(X* ◻☛ 2*dx) b 4X“ dx)— d6 4 6 dar— , 2— 2— ax- 9 bx*+ ex 5 5ot dx(2 ax+ 4 bx 8 dr). und indem wir die Reihe 2 davon abziehen und durch— dx dividiren: ro

710,0 sin. X=— Dax— 4 bzs— 6 ex... 4) 0291 Dn9 Gleichſetzung der Reihe 1 mit 4, ſowie der Reihe 2 mit 3 erhält man: kx+ Ax+ BXdCxICH.=— 2ax— 4 bz*— 6exs—... 5)

1 8 ax+† b+† on k 8 3Ax*+ 5B+ 7Cx” t. 6)

00⁸

Aus 6. folgt nun nunsgſt kt; aus 5: 22= k, demnach a= n

1* dh 2 2; dann wieder aus 6⸗ 3A a, A=e. 8 3 Raau zus 57 nanara barnT 1.— 8 lim Han d T un⸗t ſu 23 3' uf gleiche Weiſe finden wir B ſ̃a R 2 i= 5 F& F 2 75

u. ef 1. Durch Einſetzen dieſer Werthe in 1 u. 2 ergeben ſich die Reihen 7 u. 8 des vor.§.

§ 21. Fuür einen Winkel xX, deſſen Bogen die Einheit nicht überſteigt, konvergiren die beiden Reihen ſo ſtark, daß ſchon eine mäßige Anzahl von Gliedern ausreicht, den Sinus und Coſinus des Winkels mit der in den Tafeln üblichen Genauigkeit von ſieben Dezimalſtellen zu geben.— Der dem Bogen 1 entſprechende Winkel ergibt ſich aber aus der Proportion: 1 = 180%: Xo= 57° 36 50“ der Nonageſimaltheilung und überſchreitet demnach 450, bis zu welcher oberen Grenze überhaupt nur die teigonometriſchen Funktionen wirklich berechnet werden, indem die trigon. Funktionen der Winkel zwiſchen 450 und 90 aus den verwandten Funktionen der Ergänzungswinkel ſich ergeben. Die Reihen ſind demnach füͤr alle Fälle kon⸗ vergent genug, für kleinere Winkel⸗ jedoch mehr als für größere. Im letzteren Falle iſt es vor⸗ theilhaft, wenn man erſt sin. und cos. ½ x durch die Reihen berechnet und hieraus dann sin. und cos. X nach den Formeln 4 und 5 68 18) ab bleitet.—

Es ſei X= 11° 15 mithin ogen= 0 ,1963195408*).. Zur Frleichterung der ſucceſſiven Potenzerhebungen von Bogen xX berechnen wir vorerſt eine Multtiplikationstaäbelle, welche das 1⸗ bis 9fache dieſes Bogens enthält, und faus welcher ſodann die TMeilztedukte unter Anwendung des abgekärzten Muttiplikationsverfahrens⸗ entnommen werden..

„ 1,5707963268 9811„ „ 1S71185:6 2f na 785„. 4. Z G0no00e30u23

112IE 16 EIh 8 9O demnach: 1.6t.II. G. F.. 6x 0,03855314218 86 9 6. e 1*

*) Ergibt ſich aus der Proportion: 1800: u—„ 1— 7 15

28**) Um in der höchſten Stelle des Malipittanns Einer zu erhalten! wurde derſelbe, 100mal größer, und dafür der Multiplikand 100mal kleiner gemacht.

Multiplikativns⸗ eroch nuna von X⸗ durchorkurgte 3 nime d au m Ftabelle.— 31*8 Muktiikation 115 m. 1 1fah 0,1963495108 1001063495308 · e de kaßte Waiple 2„ 0,3926990817 5 1,963495408*Br 2:8 1 s mi. Weiſe

3„ 0,5890486225 0,01063495108 atelheae aus 1 I ſich ehesäten rp 4„ 0,785398 1634* 1767145868 er o 9*— †— 90 148

5„ 098174770222—— 11430843::. S= 000148634104,

,1 7, ,dS hun ds e n890436 r age 3*= 0,00029184309,

6„ 1,178097245 1 ur en 785398 2 4.— 000005730325,

7.. enr atssazd).(76715 4, nht 9e, 1g 3„ 7= 6,00001125146,

9

8 1