20

Da die Anzahl dieſer Gleichungen jedoch geringer iſt, als der darin vorkommenden unbekannten Größen, ſo müſſen wir zur Erzielung einer beſtimmten Auflöſung vorerſt noch neue Relationen zwiſchen den unbeſtimmten Coefficienten aufſuchen. Dieſelben erhalten wir durch Herleitung von zwel Reihen für sin. 2 ¼; die erſte nach der Formel 4(§. 18), indem wir alfo die beiden hypothetiſchen Reihen 1 und 2 mit einander und dann noch mit 2 multipliziren; und die zweite, indem wir in der Reihe 4 ſtatt x ſetzen 2xX. Demnach:+ 2

+AxXxS+ BxS+ Cx+ Dx”*+ Exn+ EX s+..

1, axau aX5 aBXàGXS+ DX aEx3+.

43„ sin. X. c08. xX 2816

1 ene ¹ Th. 1 5 + brs † bAX bBXS bOxX“ bDX+. 8 11ℳ Jlrc KrEAx PeBX cON+ 91

x Binid. 1 Inr afld wiindoen Inn u † dX+. dAX+ dB x 12 m ij wnannnß birmanepint id ann n+ eX ¹1 eAx 40.—

. rSad uu au. nis dnd Mimng+ fx2+. folglich: din. 2X 2X 2(A a) x 2(B aAX † b) X*. 2(CaB bA)Xr. 4) und sin. 2 2x+ X. 23 X † B. 2 X C 2 x+ D. 2².. h 5) Durch Subtraktion dieſer beiden Reihen von eiuander ergibt ſicthh n 0= 2(A+ a— 2*A)+..2(B aA+ b— 2 B)+ 2(OCaßB bA— 230) De B cA+ d— 250D)+. X. 2(E ab+† b+ eß d X G 2E) † 2(FAEbP+eCdB eA+ f— 2P) P.. 6) Da auch hier jeder einzelne Faktor des zweiten Gliedes für ſich gleich Null ſein muß, ſo erhalten wir jetzt die erforderliche Anzahl von Gleichungen. So folgt zunächſt aus 3, 1+ 2a 27„Irdrat itnpen n]ftn i 2E Affrh ld enn en r = 0, demnach a⸗ A z ſodann aus 6, A, a— 2*A— 0, mithin A— ted hon un X 400 Ii id dun n. 4 313 A 2„— =— 23; hierauf wieder aus 3, 2 A+a*+† 2 b= 0, alſo b2A t= 241 8 „Ierg um 61( 1.21 9 1= II 2b 7. 1b t1 d nunmehr aus 6,„B AX t. h— 248=— 0, alſo B— 6. 11= 2 S4.3i in ähn⸗ teu 24+1Al b t Iuu 509 † licher Weij Ersiht ſich jerner gi g 3.1.5 6 6=— 2315Gr ſ. w.. Durch Einſetzung dieſer Werthe in 1 und 2 ergibt ſich endlich: ¹ 15 174 7 18 ³) 514 XS fn 1 Xz(³1936 3 2) intenn X e at N 69 sin. X 5— 5.. 7) u. Le X= 15 2 2 8) . 20. Durch Einführung eines verſchwindend kleinen Bogens dx in die hypothetiſchen Reihen 1 und 2 und Anwendung des binsmiſchen Lehrſatzes ergibt ſich die Darſtellung viel einfacher, wobei zugleich der Coefficient von x in der Reihe 1 auch noch unbeſtimmt gelaſſen werden kann. Indem wir denſelben mit k bezeichnen, gehen wir ſonach von den Reihen aus: sin. X=kx †. AXS+ Bx+ Cx*+ DX+. 1) und cos. xX= l ax †bx Pex⸗**+. 2 Laſſen wir x übergehen in x+., ſo erhalten wir vermoge§. 18. Gl. 7 und 8:— sin. X+† dx.. cbs. x kK(+ 40)+ A.+† dX)“+† B ℳ d4)⸗+ C(+x): †... cos. x— dx. sin. X 1 a(X+ο¶ ÿà) † b. dx)+ e(X+ dx)+. S. Nehmen wir die einzelnen Potenzerhebungen in Rückſicht auf die je zwei erſten Theilſätze vor, indem wir bemerken, daß die Theilſätze mit den Faktoren dx*, dx*.. als verſchwindend klein höherer Ordnung vernachläßigt werden können, ſo iſt: 211ier 214 bl chlac sin. x+. dX. Cos. X=k&ρ e⁵‧‿2‿ ◻u„Mf‚ 3Xda) †‿ B+ X 4dH)+‿CG Xdx). rün weineſ3ee K. A Bxs Cs †.. Ax(K 3AX 5BK- 70X“.)