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oder indem wir dieſen Bruch= m ſetzen: A= m. 1 †2d ſofn, Auf den Grund dieſer Gleichung iſt jetzt die Unbeſtimmtheit der allgemeinen logarithmiſchen Reihe beſeitigt, und die Reihe 4(§. 11) geht über in: 1 ,e.

4, 10⁵.(1+.)— m G—+— 4+)= m X 1, nat. 1+ 1)

Man findet alſo den Logarithmen einer Zahl für eine beliebige Baſis a, indem man den naturlichen Logarithmen dieſer Zahl mit einem konſtanten Faktor m multiplizixt, welcher ver⸗ möge Gl. 6 aus der Baſis a berechnet wird. Dieſen Faktor m nennt man den Modulus, weil er gleichſam das Maß iſt, durch welches die Logarithmen eines beliebigen Syſtems aus den durch die Reihe 4 als bekannt vorauszuſetzenden Logarithmen des natürlichen Syſtems hergeleitet werden.+ d lg„Amadilchf ⸗sifaut: 4 puurio lnk h

Wir bemerken nur noch, daß die natürlichen Logarithmen ihrem Erfinder, dem ſchottiſchen Baron Neper zu Ehren, auch die neper'ſchen Logarithmen genannt werden, aber auch die hyp erboliſchen heißen, wegen ihrer merkwürdigen Beziehung zur Hyperbel. Im Gegenſatze zu den Natürlichen, würde man jetzt die Logarithmen eines anderen Syſtems die künſtlichen nennen, wiewohl man darunter vorzugsweiſe die allgemein eingeführten auf die Grundzahl 10 bezogenen Logarithmen verſteht, welche nach ihrem Begründer und Berechner Briggs, einem Zeitgenoſſen von Neper, die brigg'ſchen Logarithmen heißen. 1

§. 14. Die Reihen 4, 5 und 7, des vorigen§., durch welche jetzt die Möglichkeit feſt⸗ geſtellt iſt, die Logarithmen der Zahlen für ein beliebiges Syſtem zu berechnen, werden nur dann brauchbar ſein, wenn eine mäßige Anzahl von Gliedern derſelben das, was geſucht wird, ſchon ſo genau gibt, daß die ſpäteren Glieder vernachläßigt werden können, d. h. wenn ſie ſtark konvergiren. Eine ſolche Convergenz ſtellt ſich aber mit Entſchiedenheit nur in denjenigen Fällen heraus, wenn x kleiner als eins, alſo die Zahl deren Logarithmus beſtimmt werden ſoll, ein zwiſchen 1 und 2 gelegener unechter Bruch iſt. Wenn dagegen x größer als eins iſt, ſo findet dieß nicht mehr ſtatt, und müßte man dann eine ſo große Anzahl von Gliedern berechnen, daß die Ausführung dadurch zur Unmöglichkeit wird. Es wird alſo jetzt unſere Aufgabe ſein,

dieſe Reihen durch Umformung für alle Fälle brauchbar zu machen. ℳ 7, 11 2 4 57

Die Reihe 7 des vorigen§.: log.(1+ X)= m. K=+ 5 2 4 4— bleibt auch wahr, wenn wir x negativ ſehen; das erſte Glied geht dadurch in 1— X über, und

auf der andern Seite werden alle Theilſätze negativ, indem die geraden Potenzen von— ½, welche poſitiv würden, im Subtraktionsſinne erſcheinen, und die ungeraden Potenzen von—X

aus bekannten Gründen negativ werden. Man erhält alſo: in mmſhuinis inn z651 20 7 X2 X 3 X4*XS 2 log.(1— m(— x———-———————..+ I) 41 8( xX) 2 3 4 1 5 8) 1

Ziehen wir dieſe Reihe von der vorhergehenden ab und bemerken wir daß log.(1 ℳ X) — log.(1— X)= log.— ſo erhalten wir nach Ausſcheidung des gemeinſchaftlichen Faktors 2 in dem zweiten Gliede:. d Her nbe mde 1212† 9 4e

II 812d0 4

1 13 Lnmak. 1 log. 1.= 2m. 4+ 4 5+* 4 4 301 7.. 1 9 801 20

Setzen wir hierin 1+☛*

— y—: Aga Ire ul S Tereeſe ſehe,)