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Werden jetzt dieſe beiden letzten Reihen einander gleich geſetzt, ſo ehält man aach der Diviſion durch den gemeinſchaftlichen Faktor y: +
A+ 2B+ 30“+ 4D5 xs†.+ Py Oy ⸗+.. Ert. fln aſsgoee 5 4
eine Gleichung welche für jeden beliebigen Werth von x oder y wahr bleiben muß, und worin es daher auch geſtattet dh y gleich Null zu ſetzen. In dieſem Falle erhält man: A+ 2B
+ 3Cx*+ 4D x ³ A. Wird mit 1+x multiplizirt und geordnet, ſo entſteht hieraus: 1n IP 5
Aene cene en,e. hehee de.de 3+ E+ 4D) X+.= A, oder (2B+ A) x+(3 C+ 2B) †+(4D+ 3C) x*+(5E+ 4D)*+= 0. Nach Anleitung des§. 5 weiter ſchließend, ergibt ſich hieraus: 21.+A= o, 3C+ 2B=9,
4D+ 3 69, 5 E 40= Ou. ſ. w. Daher B=— 25, ebenſo D= 2 7 2. u. ſ. w. Durch Einſetzung dieſer Werthe in die hypothetiſche Reihe erhalten wir die Reihe 4 des vorigen§. wieder. §. 13. Auf den Grund der Rahe 4(§K. 11) iſt jetzt:
1— A. 2+ 12 er. 1 a= 1+ oder auch(a4)= 1+x 1) 1. 1 1 1 X 2 X3
X.————.
Ebenſo iſt für eine andere Baſis e(2n) an dier a44— ee 2) Aus der Zuſammenſtellung der Gleichungen 1 und 2 folgt nunmehr: 14 an 3)
woraus wir erkennen, daß der unbeſtimmte Faktor A(Gl. 4§. 11) von der Zahl 1.+ X völlig unabhängig iſt, und nur von der Grundzahl a des angenommenen Logarithmenſy yſtems abhängt, alſo irgend eine Eunai derſelben iſt, während der andere von der Grundzahl
unabhaͤngige Faktor x—. blos eine Funktion der Zahl 1+xX iſt. Da a einen ganz aleag ze di hat, o können wir dieſen auch ſo wählen, daß
X ²³ NX ³ a= e= 2,718281828..(§. 10) und dann iſt e. 2 1+ x oder auch, indem wir die für dieſe uns bekannte Baſis berechneten Logarithmen, worin der Faktor A'= 1(Gl. 2) iſt, die natürlichen nennen, weil durch Wegfall des unbeſtimmmten Faktors die Reihe jetzt am einfachſten und natürlichſten ſich geſtaltet: nr
X3 X4⁴
8— 4 log. nat. d=r rre 81 4 Daher auch, wenn wir x= a— 1 ſetzen
— 1)*— 1) ³— 1)* 15 log, nat. a=(a-1) 4+—+ 5)— 2 3 4 A... Aus a ö= md folgt aber, wenn wir die natuͤrlichen Logarithmen nehmen, und bemerken daß log. nat. e= 1 iſt: A. log. nat. a= 1, alſo A* 1— 1 —— S1N—— 14 log. nat. a(a1) 2(a 24+(A 7 1)3(a 3 1)* P.
6)