12

= A(2x+ x')+ B(4 x⸗+ 4x+†X*)+ C8X 12 x*+ 6 5+ X)+ D(16 X* + 32*+ 24+‿ 8X1†X*)+ E(32*+ 80+ 80+ 40+ 10+ X¹) + P(64 x+ 192:+ 240 x* † 160*+ 60+ 12 X*)+†...

oder indem wir nach den Potenzen von x ordnen:.—

log.(1+ 2 † X)= 2Ax+ x:*(A. 4B)+† X(4B+ 80)+ X*(B+ 120 ddag+ 16 D)+ x*(60+ 325+ 32 E)+(+ 240

80.E 64) fn e. 3)— Da die Reihen 2 und 3 nothwendig einander gleich ſein müſſen, ſo ſind es auch die Coefficienten der gleich hohen Potenzen von xX und wir haben daher jetzt:„

A 5 Aede enſneeee 4 à+ 1B= 2 B, alſo Be=; 4 B+. 80= 20, alſo C= 2b= 3; B + 12 G+ 16 D= 2D, woraus D=— 21, 6 C+ 32 D+ 32 E= 2 E, daher EE 2. 0+ 24D+ 80 E+ 64 b— 2 F, woraus P= 5 folgt, u. ſ. w. Werden dieſe Werthe in die hypothetiſche Reihe 1 eingeſetzt, ſo ergibt ſich endlich: 2 3 4 4 5 A X log.(1+ xX)= AxX— Hu 2— 4x.* A+... oder 2. 4 5 6 X² HIXSdH X4 XS5 X*⁴ los.(1 †=AK= r F 4).

§. 12. Eine andere Herleitung iſt Folgende:.— Laſſen wir in der hypothetiſchen Reihe log.(1+ x)= AX T Bx⸗+ Cxs+ Dx“*+. x übergehen in x+ y, ſo entſteht: 10.(1+ X y)= X() † B Gy)⸗X C(—.)“ † D.) H.. = X(+ y)+† B(X⸗+ 2 xy Py)+ C(⸗+ 3*+†.) + DX◻μ‿ιέφe‚ y †.) e. oder 34 log.(1+ X y)= AX+ Bx*+ CX+ Dx¹*+ y A+ 2B+ 3Cx⸗ + 4D x+ 5Ex+..)+ Py+† Oy †... indem wir nämlich die Faktoren von*, y.., auf deren Ausrechnung es gar nicht ankommt, kurz mit P, Q.. bezeichnen.— In dem erſten Theile des zweiten Gliedes erkennen wir aber die hypothetiſche Reihe wieder, wofür wir log.(1+.) ſetzen können, und erhalten dann: log.(1+ X+ y)= 1o0g.(1+† v)+y(A+ 2B x+ 30 x*+ 4Dx+..) 3 Py.+ Oy 4.. Wird log.(1+) herübergebracht, und bemerken wir daß log.(1+ X y)— log.(1+ X)

2 1 d F = l1og. te= log. d.†☚), ſo entſteht:

log.(1+ 1*=yA 25. 3044b2, TI †.) † py.† P.

Für log.(1+—) ergibt ſich aber noch eine zweite Reihe, wenn nämlich in der hypothe⸗

1+ x tiſchen Reihe ſtatt x geſetzt wird 1; dieſe iſt: 9 y Ay. BN Cy* DPx u,(i † 1= 14& rs † ey s †.