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Herleitung der logarithmiſchen Reihen.

3e 11. Indem wir uns auf den allgemeinen Fall K Z(§. 8) beziehen, ſoll jetzt das Abhängigkeitsverhältniß des Exponenten Y von der Zahl Z feſtgeſtellt werden. Da aber zugleich von X abhängig iſt, ſo muß das Reſultat der Unterſuchung auch hier wieder ſo lange unbeſtimmt bleiben, als wir nicht den letztern Umſtand in die Betrachtung mit hinein⸗ ziehen. Es ſteht indeſſen feſt, daß der Logarithmus einer Zahl eine Funktion dieſer Zahl iſt, und muthmaßlich durch eine nach den Potenzen derſelben fortſchreitende Reihe dargeſtellt werden kann.

Ddie hypothetiſchen Gleichungen: log. x= a+ bX+ex⸗ †... und log. X= AxX + BX+ CxsS.. können uns nicht befriedigen, udem für x= o alſo log. o=— unendlich,*) das zweite Glied der erſten Gleichung in a, und in der Zweiten in Null übergeht. — Für jedes logarithmiſche Syſtem iſt log. 1= o, und es intereſſirt uns blos, die Logarithmen der von der Einheit ſich unterſcheidenden Zahlen, welche durch 1+ X ihren allgemeinen Aus⸗ druck erhalten, kennen zu lernen. Wollten wir jetzt log.(1+˖ x)= a+† bx+ ox+†.. ſetzen, ſo würde wieder für x= o die Gleichung in log. 1= a, d. h. o= a übergehen; dieſe Gleichung befriedigt uns daher auch nicht, wohl aber die Folgende: log.(1+ X)= AX + BX+ Cx.., indem für x= o das ganze zweite Glied=%= log. 1 wird.

Es ſei ſonach für die Brundzaßl a log.(1.+ x)= AXx+ Bx: C xs+. oder auch 1 J*= 4†E On.+†.. 1) Indem wir hier einerſeits in's Quadrat erheben dii dafür auf der andern Seite den Geho⸗ nenten verdoppeln, iſt jetzt: (1+*):— 4241+ 2 BX2+ 20x3+.. mithin.

log.( 9Sea 4= 3 A:E+ 2G*+ 2DX*+ 2 EXx. 2) Die hypothetiſche Neihe 1 muß aber auch wahr bleiben, wenn wir 2+ X= 2Xx(1+5 an die Stelle von X ſetzen. Wir erhalten dann: 43+

E-H2X †),= A 2(14 3) K B.4. 4er9. 4 O4as 1. 5 . 16.).. 62* 1+ 8 †. aa.

A 2 1)†n. ih. be 3,ur 4 t b. bi-edesA2 42 r

L2e A. 3e t. Dn⸗ efh hge

15 X' X 3 15 X*⁴ 3 ³, X d ia ar Wr⸗ Tor t is t ar) trenn — m 1 2 Se 91 1. 2 *) Setzen wir in der Gleichung a= unendlich groß, ſo wird em unendlich klein, d. h.= alſo log. o= negativ unendlich.66 9 7.

(z=I) z e