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Zweiter Abſchnitt.

Die Entwickelung transcendenter Funktionen durch die Methode der uübrfinnten Coefficienten.

Herleitung der Reihe für Etyrnenttalztaßen

§. 8. Es darf als bekannt, vorausgeſetzt werden, daß in einer Gleichung XI= Z die Wurzel, der Exponent und die Potenzgröße in einer ſolchen gegenſeitigen Beziehung zu einander ſtehen, daß aus je zwei Gegebenen derſelben die dritte Größe nothwendig hergeleitet werden kann. Die Beſtimmung von Z aus X und X geſchieht durch die Potenzerhebung, von X aus Y und Z durch Wurzelausziehung, und von N aus X und Zü durch Logarithmen. Wir faſſen hier zunächſt den erſten Fall in's Auge und bemerken, daß der Werth der Potenzgröße Z unter lia zweifachen Einfluſſe der Wurzel X und des Exponenten X ſteht, wollen aber vorerſt blos das Abhängigkeitsverhältniß von dem Exponenten X allein feſtſtellen, d. h. unterſuchen, welche Verrichtung mit demſelben vorzunehmen iſt, um den Werth von Z. dadurch herzuſtellen. Da wir alſo den Einfluß von X außer Frage laſſen, ſo iſt leicht vorauszuſehen, daß das Refultat der Unterſuchung unbeſtimmt ausfallen werde. 1

§. 9. Die Aufgabe um welche es ſich zunächſt handelt, iſ alfs. a in von dem Grpoitenten x abhängigen Reihe darzuſtellen. In dieſer Abſicht ſetzen wir:

251+ AX+ BX*+ Cxs+... 1) indem wir bemerken, daß der erſte Theil⸗ ſatz des zweiten Wiiebes nothwendig= 1 ſein muß, weil für den Fall daß x= o ange⸗

nommen wird, a= 1 wird, und auf der andern Seite jetzt alle mit x behafteten Weilſäße

wegfallen, ſo daß die Gleichung 1= 1 ſich herausſtellt. 6. Laſſen wir X übergehen in x.+ h und bemerken wir dabei, daß a* um 4* 7

ſo it ich.

21= 1AG+ 1)+† BG+ M: OG.+ 1)*ℳD+ w).*.

oder indem wir nach dem binomiſchen Lehrſatze verfahren, wobei wir uns jodoch blos die beiden

Aheß Thelſse anzumerken brauchen:

2* In— 1+ A&+ 1)+ BG.⸗ Pie a akas Pefendhlen desaEendfn 2 + D*+ 4 xsh †⸗ 1... oder auch 4˙⁴◻ a+ 14+ Ax*ℳ H2 Cx:.eeenee eswe tse: + 4DX+.)+ Cheilſätze mit den Faktoren h ² 88.. Diöibiren wir dieſe Gleichung durch die Gleichung 1, ſo iſt: „ 1H. A+ 2 B x+ 30+‿ 4Db..—3 Cheilſätze m ätze nit den Fakt. he, ha.. 1 †XX O... Tw. 9s i aber auch, wenn wir in der Gleichung 12& h ſeten: 4=1 hA+ h⸗ B † hsOrter 3) Aus 2 und 3 folgt Vept. daeu A 2 BX 3 Gx+ 4DX5 gje; Theilſätze mit den Fakt. hi, hse hs. 1+AX T+ B5+ CxT.. à AspieteEri. = 1+ hA+ h:B+ h. Da in dieſen beiden gleichen und nach den Patenzen von 5 Jar chreitenden Reihen die 2

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