§ 7.

Stellt in Fig. S ad= AD== AB die Längeneinheit dar, und ist OB= O Bl, üBAD=a,= BAD=— a, bellabi, dann ist auch be= abi und: ab+be= ab+ab ei“+ e- i“(nach Kap. I§ 5); mithin 2 40= ei+ ei ¹,

24A0 ia— ia 2ao= ß= 2 cos.= ei“+e ¹¹, ia— ia 608,924- Ferner ist ab+bo ⸗= ao ab— ao=— bo= ob, a bi— àao=— bio= O bi;

folglich ab— ab= Ob— obl= Ob-† ko== 2 0b= 210B 21 0— 2 in.a,

ei— e 1*.= 2 j sin. c Ir e 21

— ia sSIn.=

4&

Die Gleichung des Kreises und der gleichseitigen Hyperbel auf imaginäre Coordinaten bezogen.

Die Lage eines beliebigen Punktes M der Ebene(Fig. 10) lälst sich durch zwei complexe Zahlen angeben, die durch ihre absolute Länger und o und ihren Richtungs- winkel und 6 gegen 2 rechtwinklige Coordinaten OX und O Y bekannt sind.

Es ist nämlich om= op+pm= op Poga,

oOp= r(cos.«+ i sin.«) und o q= 0(cos. 5β+ isin. 5).

Nehmen wir in den Gleichungen des Kreises und der gleichseitigen Hyperbel:

X2+ y²2= 1 und X2— y2= 1, statt der reellen Coordinaten x und y die complexen

Coordinaten r(cos. † i sin.) und g(cos. β+ i sin.) an, dann schlieſsen diese neuen Gleichungen die obigen als specielle Fälle in sich ein.

Wir erhalten mit Benutzung der Moivre'schen Formel in§ 6: XZ2 y2= 2²(cos. 2+ isin. 2)* 02(cos. 2 β+ i sin. 2 β)= 1 oder nach Trennung der reellen und imaginären Bestandteile der Gleichung:

I. I2² cos. 2 ‿(2 cos. 28= 1, II. rsin. 2(.* 02 sin. 2 G◻— 0.