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Die Figur 9 entspricht dem beigefügten Zahlenbeispiel: 0,7+ 1. 2,2= 1,22 † i. 0,89. AC= 1 0,7+ 12,2 cm, AF= 1,22 cm, FE= 0,89 cm.

§ 4. Lösung einer Bewegungsaufgabe mit Hülfe der Richtungszahlen.

A geht von M nach N, B und C gehen gleichzeitig von den Punkten M und N nach P. Die drei Wanderer erreichen zu gleicher Zeit ihr Ziel, wenn sich der Weg des A zu dem des B wie der Weg des B zu dem des C verhält. Wie grols sind die Ent- fernungen MP und NP, wenn MN= a ist?

Auflösung: Bezeichnen wir die Entfernung MP mit x und NP mit y, dann kann der Punkt P nicht auf der Verlängerung von MN liegen; denn wenn X= a ist, muls auch y= x sein, was nicht möglich ist. Der Punkt P kann aber auch nicht zwischen

M und N liegen; denn in diesem Falle würde y und folglich auch 2 negativ, während 4

positiv ist. P kann sich daher nur seitwärts von MN befinden, und wir müssen die Wege von A, B und C durch Richtungszahlen ausdrücken, etwa als x. und vS' wobei

wir die Strecke MN= a, als Grundrichtung annehmen. Nach Voraussetzung ist nun

—. ie aer(4) 6) , v, oder r)o æ=(F a.— S.

Die durch beide Seiten dieser Gleichung angegebenen Richtungszahlen können aber nur gleich sein, wenn sie parallel sind, d. h. wenn o—-=— oder 2= S, α 4 ist.

ist Auſsenwinkel des Dreiecks MPN und doppelt so groſs, als der von ihm getrennte Innenwinkel; folglich ist Dreieck MNP gleichschenklig und MN=NP. Aus A= N folgt aber MP2= MN oder MP= MN; mithin muſs das △MPO gleichseitig sein. Da x und h auch negativ genommen werden können, so ent- spricht dem auf der einen Seite von MN liegenden Punkte P noch ein lülelor auf der

andern Seite. Als Winkel des gleichseitigen Dreiecks ist c=60, daher mp= 7 2(1+ i /³) und np 2(— 1+i’ 3), mp. 2(1— i1/3) und npa 2 1— i /3).

Fassen wir bloſs die absoluten Längen der Wege der Wanderer ins Auge, dann kann P zwischen M und N fallen, und x+ y wird gleich a oder y= a— x. Daher erhalten wir die Gleichung

a xX a— 1=2— oder X= 2(—15), worin nur das obere Zeichen brauchbar ist, da nur für diesen Wert P zwischen M und N

fällt. Der Punkt P teilt die Linie MN nach dem goldenen Schnitte.