der Bedingung der Aufgabe entſpraͤchen, welches der Fall waͤre, wenn die letzte derſelben der andern gegebenen gleich wuͤrde. Die Ausfuͤhrung waͤre alſo abermals abhaͤngig von der gegenſeitigen Neigung der AH und AF, d. i. von dem Winkel BAD= CEF—= EFD u. ſ. w. Gefunden wuͤrde er, wie oben. Denn da sin. BAD:r= EOC: EF= EF:FD= FD: DB, ſo iſt EC:DB= s5: rs*, und ſetzt man dafuͤr a:na= ss: rs, ſo wird s=r 1 Allein eine Winkelberechnung dieſer Art lag außer dem Geſichtskreiſe der alten Geometrie, die weder Logarithmen noch trigonometriſche Tafeln kannte. Exratoſthenes mußte alſo einen Weg ſuchen, wobei die Neigung der beiden geraden Linien, zwiſchen welche ihm die Proportionalen fielen, und die in ſeinem Epigramm dσQQœ noveg, die beiden Regler, heißen, un⸗ beruͤckſichtigt blieb. Er nahm daher nur die Lothe des einen Kanons, etwa. der AfHH, zu ſeinen Proportionalen, naͤmlich die CE, DF, BG, HI; die uͤber⸗ ſprungenen, die EF, DB, GH, dienten ihm als Huͤlfslinien und kamen nur noch wegen ihrer gegenſeitigen parallelen Lage, nicht aber als Lothe des an⸗ dern Kanons, der Al, in Betrachtung. 1²) Es werden naͤmlich die auf die AlHl gefaͤllten Lothe CE, FD, BG, HI immer ſtaͤtig proportionirt ſeyn, ſo oft durch ſie zwiſchen AH und AC ſolche Trapezien entſtehen, deren Dia— gonalen, mag man nun die EF, DB, GH, oder was Eratoſthenes that, die IB, GF, DC nehmen, unter ſich parallel ſind; wobei denn weder ihr ſonſti— ges Verhaͤltniß zu den Lothen der AH, noch auch ihre Neigung zu dem an⸗ dern Kanon zu beruͤckſichtigen noͤthig iſt. Auf dieſe Weiſe wurde die Con—

¹2²) Hieraus ergibt ſich, in welchem Sinne das Epigramm, 6, 7. die mittleren Proportio⸗ nalen deιοις τεοιμιασα υνν⁴ερσμαα⁴eςο ντοο εσσάννρναά ν nennt; weil ſie nämlich miteinander und nebeneinander den äußerſten Schranken zulaufen, welche ihnen die bei⸗ den Regler ſetzen, zwiſchen die ſie fallen.