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Mit Huͤlfe des nach dieſer Formel gefundenen Winkels BAbD koͤnnten mithin ſo viel mittlere Proportionalen von ſtaͤtigem Verhaͤltniſſe gezogen wer⸗ den, als verlangt wuͤrde. Und jedes der auf ſeinen Schenkeln AB und AD vermittelſt der Huͤlfslothe CE, EF u. ſ. w. abgeſchnittenen Stuͤcke AE, AF u. ſ. w. wuͤrde nach§. 1. die Wurzel irgend eines Vielfachen der mten Po⸗ tenz des erſten Gliedes als Linie darſtellen.

§. 6. Des Eratoſthenes Nachweiſung der Mittlern und ſeine Vor⸗ richtung.

Eine Vergleichung des Eratoſtheniſchen Verfahrens mit dem eben ent— wickelten kann auch dem Anfaͤnger in den mathematiſchen Studien anſchaulich machen, wie viel unſere ausuͤbende Geometrie durch Logarithmen und tri⸗ gonometriſche Tafeln vor der der Alten voraus hat. Es beruht aber der Unterſchied zwiſchen beiden zunaͤchſt auf dem Umſtande, daß Exatoſthenes die Proportionalen nicht auf den Schenkeln eines nach der Formel, cos= r2, 1 beſtimmbaren Winkels BAD, ſondern unter den Linien nahm, welche zwiſchen zwei, irgendwie geneigten, geraden Linien auf eine und die andre lothrecht fallen, wie in Fig. 2 CE, EF, FD, DB, die uns zur Beſtimmung der Punkte E, F, D dienen mußten. Denn es iſt auch CE: EF= EF: FD= FD: BD, u. ſ. w. Demnach wuͤrden nicht mehr AC und AB, ſon⸗ dern CE und BD als gegeben betrachtet werden muͤſſen; die Verzeichnung der Mittleren aber, der EF, FD, wuͤrde ſich bei dieſer Vorausſetzung nur um Weniges anders, wie oben geſtalten. Denn wir duͤrften nur eine der gegebenen, etwa die CE, als Loth auf eine noch unbegrenzte Linie AH faͤl⸗ len, dann auch durch den zweiten Endpunkt der CE eine zweite Linie in einer ſolchen Lage gegen die erſte ziehen, daß die ſenkrechten EF, FD, DB

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