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§. 2. Die Probleme des Eratoſthenes.

Mit Recht fanden alſo die Alten die Verdoppelung oder uͤberhaupt Ver⸗ vielfachung des Wuͤrfels abhaͤngig von dem Auffinden zweier mittleren, von des gegebenen Wuͤrfels Seite zu dem Doppelten oder Vielfachen derſelben fortſchreitenden Proportionalen. Eben daran knuͤpft Eratoſthenes noch die Aufloͤſung dreier andern verwandten Probleme. Sie ſind:

1. Ein Parallelepipedum in einen Wuͤrfel von gleichem Inhalte zu ver⸗ wandeln;

2. ein Parallelepipedum, oder auch einen Wuͤrfel in der Geſtalt, d. i. in den ſymmetriſchen Verhaͤltniſſen, eines andern bekannten Paralelepi⸗ pedums darzuſtellen; 3 1

3. ein Parallelepipedum nach irgend einem Verhaͤltniſſe mit Beibehaltung der Ähnlichkeit zu vergroͤßern.

Bei der zweiten dieſer Aufgaben wird vielleicht die Bemerkung nicht uͤber⸗ fluͤſſig ſeyn, daß die Worte des Eratoſthenes, es Ereov&&rεεον οσφαμρμρυννσειν nicht heißen koͤnnen, eins ins andere, bei gleichem Inhalte mit beliebiger Wahl einer der Seiten, verwandeln; denn dieß wird ſchon mit Huͤlfe der Elementargeometrie vollzogen. Vielmehr koͤnnen ſie nur den Sinn haben: ein Parallelepipedum in die Geſtalt eines andern umformen, d. i. wenn zwei gegeben ſind, ein drittes beſchreiben, das dem einen an Inhalt, dem an⸗ dern in den Verhaͤltniſſen der Dimenſionen gleich ſey. Übrigens laſſen ſich alle drei Aufgaben leicht auf das Hauptproblem von zwei mittleren Propor⸗ tionalen zuruͤckfuͤhren.

§. 3. Zurückführung derſelben aufs Hauptproblem.

Die erſte Aufgabe: ein Parallelepipedum in einen Wuͤrfel von gleichem Inhalte zu verwandeln, heißt nach dem Sinne der