24 1) Xy. G+ a)= 0, 2)(XZ— r*) G+ a)?— G2— 12(G+ a)?+ 22+ 2(+ a) z cos v2)= 0, 3) X-* y(2+ 2(G+ a) cos v2)— 0. Die Ebene y+a= 0 begrenzt das Ellipsenbüschel, sie schneidet die Cylinder

im Unendlichen. 2z+ 2 G+ a) cos y= 0 ist die Ebene der besonderen Ellipse E, die hier zum Kreis wird. Wie aus den Gleichungen 1, 2, 3 folgt, ist die Fokale reducibel;

der eine Teil derselben liegt in der Ebene x= 0, dem charakterist. Achsenschnitt, der andere Teil in dem dazu normalen Achsenschnitt y= O. Setzt man in der 2. Gleichung x= 0, so folgt für den im charakt. Achsen-

schnitt gelegenen Teil der Fokale:

22 † a)+ G2— r*)(G+ a 2+2 G † a) zcosy²)= 0.

Dies ist eine Curve 4. Ordnung, die wieder verschieden gestaltet ist bei speziellen

Lagen von g. Figur 15 ist die Fokale, wenn g ausserhalb des Cylinders liegt, Figur 16,

wenn g den Cylinder berührt, Figur 17, wenn g innerhalb liegt, Figur 18, wenn g

einen Achsenschnitt des Cylinders angehört. Berührt g(a= 0), so besteht die Curve aus der Cylinderkante y r= 0 und einer Curve 3. Ordnung:

52 GC 2+ 26 †r) cos ²) G— r)=. Liegt g im Achsenschnitt, so hat die Fokale die Gleichung:

vyi+(22+ 2y z. cosyz)(½+ r²)= 0.

Schreibt man die allgemeine Gleichung der Curve 4. Ordnung als Funktion von (y+ a) und z, so lautet sie:

12 G ay †(G+ a)e— 24 G † a) a2— 1²)(C † a)? † 2+ 2— † a) zc0syz)= 0,

daraus geht heryor, dass g ein Doppelpunkt ist mit den beiden Tangenten: 12 G a)(2— 12)(G a)e 22 2 G † a) 20s 2)= 0.

die bei a r imaginär sind. Demnach ist G' isoliert bei a Dr, ein einfacher Punkt der Curve 3. Ordnung bei a= 1, ein Knoten bei a= r und ein Inflexionsdoppelpunkt bei a= 0. Die beiden Inflexionstangenten sind im letzten Falle z= 0O und 2+ 2(+ a) cos yz= 0, das sind die Diameter der beiden Kreise des Büschels, GK, und GKku. In den anderen 3 Fällen haben sie ausser G die Punkte O und O., ihre