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3) cos xz G+ v²) G+ r)—(+ 2 G+r) cosyz).xy= 0,

und für die Projektion auf die Ebene yz:

4) C+(+ 20+ 1) cosyi) G—)v— cosxeC— ry+ r)*= o.

In diesem Falle liegen mithin die Brennpunkte des Ellipsenbüschels auf einer Raumcurve 5. Ordnung. Sie enthält den Punkt G als einfachen Punkt, O als Inflexions- doppelpunkt. Die Projektion hat die Asymptote y— r= 0, die Cylinderkante SKa. Jede Gerade y= const. hat mit der Projektion 3 unendlich ferne Punkte gemein, folglich liegt auf der Projektion ein 3facher, unendlich ferner Punkt. Sie wird symmetrisch zur

y-Achse, wenn yz= 2 d. h. g zum charakterist. Achsenschnitt parallel ist. Gehört g einem Achsenschnitt des Kegels an(a= 0), so hat man für die Cylinderfokale:

1) cos Xz(— 12) 2+ xy2= 0,

2) y2(Xz 12)—(2— ra)(½ †. 22 †. 2y cos vz)

+ 2 cos? xz(²— r2²) z+ 4 cosxz. xy ²2= 0, 3) cos xz(X+‿ ²)— xy(2+ 2y cos yz)= 0, und für die Projektion:

4) yé+† 2(2+ 2y cos vz)(2— r²) ²— cos ²xz. 22(G— r2)?= 0.

Somit ist bei dieser Lage von g die Fokale am regelmässigsten gestaltet. Zufolge der Gleichung entspricht jeden Punkt+ y,— z ein Punkt— y,— z und jedem Punkt + y,— z ein Punkt— y,+ ²; d. h. die Curve ist ein Koordinatenwinkel(+ y)(+. 2) genau so beschaffen wie im 3. Koordinatenwinkel(— y)(— ²z), und im 2. Koordinaten-

winkel(— y)(+ z) wie im 4.(+ y)(— z). Wenn a= 0 und„z= 4. g dem charakt.

Achsenschnitt angehört, dann ist sowohl die Gerade z eine Symmetrieachse der Cylinder- fokale, die in diesem Falle die regelmässigste Gestalt annimmt, die sie annehmen kann etc.

3. Wenn das Ellipsenbüschel zum charakteristischen Achsenschnitt des Cylinders

normal liegt(= 2) so erhält man für die Cylinderfokale: