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§ 7.

1. Beim elliptischen Cylinder(d= 0), liegt die Fokale des Ellipsenbüschels auf folgenden Flächen:

1) cosxz G²— r²)z+ GC+ a)xy= 0,

2) G— r* a)— G2— r*)(G † a)+ 2+ 2 X+ a)z cosyz²)+ 2 cosxe²— 12)⸗ + 4 cos xz(ey+ a)xyz= 0,

3) cosxz(y+ a)?(X+‿˖„)—(2+ 2(y+ a) cos v²) Xy= 0, und auf den Cylinder 6. Ordnung: 4) G† ayre 2(— 20 † a) cos²) G2— r) J2— cosez. 2(*— rly= 0.

der zugleich die Projektion der Fokale des Cylinders auf die Ebene yz darstellt.

Gleichung 1 und 2 sind die aus den Brennpunktshyperbeln des Kegelschnittes d. B. hervorgegangenen Flächen; Gleichung 3 ist die Fläche der Achsen des Büschels.

Auch die Cylinder-Fokale hat wie die Kegel-Fokale verschiedene Gestalt, je nachdem g ausserhalb, innerhalb des Cylinders, speziell in einem Achsenschnitt liegt oder den Kegel berührt. G und O sind Knoten der Curve, liegt jedoch G ausserhalb des Cylinders, so ist er ein isolierter Punkt.

Die Projektion der Fokale hat einen 4fachen unendlich fernen Punkt; denn jede Gerade y= const. hat 4 unendlich ferne Punkte mit ihr gemein. Die beiden Geraden y2²— 12= 0 sind Asymptoten, es sind die Cylinderkanten SK und SK; sie haben 6 unendlich ferne Punkte mit ihr gemein. G' ist ein Doppelpunkt der Curve mit imaginären Tangenten, wenn er ausserhalb des Cylinders gelegen ist. O ist ein Knoten mit den Tangenten ²2= 0; sie haben ausser G den Punkt O 4fach mit der Curve gemein, der mithin ein Inflexionsknoten sein muss etc. Wenn g zum charakt. Achsen-

schnitt parallel wird(y= 55) so ist die Linie zur y-Achse symmetrisch.

2. Wenn g den Cylinder berührt, so hat man nach Ausscheidung von y+†r= 0, der Cylinderkante SK, für die Cylinderfokale das System:

1) cos xzé+ r)z+† xy= 0,

2) G— ra) G+ r)— G— y(+ ræ+ 2+ 2 G † r) cosyz)

+ 2 cosxz(y— r)z+ 4 cosxz. xyz= 0,