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4. Aus den Koordinaten y und z des Mittelpunktes d. K. d. B.(1) erhält man mit Benutzung von uy— az+ au= 0, der Gleichung der Ebene des Kegelschnittes, die von u freie Gleichung:

d²y?— r2²z+f adey+ redz= 0

oder

2 d?(y+ a/2)2— 12(7— /2)2— A a2— 12)= 0, . 12 2 4(

d. h. die Mittelpunkte des Kegelschnittbüschels liegen auf einer Hyperbel in demjenigen Achsenschnitt des Kegels, der den zu g normalen Diameter KiKa des Kreises des Büschels enthält.(Figur 4, 5, 6.) Die Asymptoten der Hyperbel sind zu den Kanten SKi und SK parallel und halbieren bezüglich die Strecken GK, und GK2. Die Parallele zum Diameter KKa durch die Mitte von SO und die Parallele zur Kegelachse durch die Mitte von GO bilden ein Paar conjugierter Diameter der Hyperbel und werden zu ihren Achsen, wenn g zum charakterist. Achsenschnitt parallel, oder wenn der Kegel- Rotationskegel ist. Die Hyperbel wird gleichseitig, wenn die Achse O8 gleich dem Radius von K wird. Liegt g ausserhalb des Kegels(Figur 4), so schneidet der zum Diameter KKe parallele Diameter die Hyperbel real, liegt g innerhalb(Figur 6), da- gegen der zur Kegelachse parallele Diameter. Diese beiden Lagen der Curve sind conjugiert. Wenn die Gerade g den Kegel berührt zerfällt die Hyperbel in zwei Geraden.(Figur 5). G, O und S sind Punkte der Hyperbel.

§ 4.

1. Wir fanden als Gleichung des Kegelschnitts des Büschels bezogen auf zwei conjugierte Diameter:

/(a²+ u?² † 2au cos vyz)(a2d?— ru?²) dex,²2 †.(a2d?— 1²12)2» 2 — a2dar?(u— d)²(a²+ u²+ 2au cos yz)= 0. Eine Tangente, die im Punkte p,— berührt, hat mithin die Gleichung: V a? † u² † 2au cos vz(a?d?— rau²) depa,+.(a2d?— r2u²) 2qy, — adr?(u-— d)2(a?+ u2 † 2au cos)= 0.

Andererseits hat man für die Kreisasymptoten:

i²+ v2 † 2 y, cos X= 0.