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§ 3.

1. Transformiert man mittelst der im vorigen Abschnitt gefundenen Formeln das System für das Kegelschnittbüschel, so folgt:

„ 2= 0,

dz A2x'2 †f(a2dz— ru?²)„“²2— 2reu(u— d) Ay“ — 2rauAy“z'— Azrz(z'+ u— d)²= 0.

Die letzte Gleichung stellt den Kegel dar in Bezug auf die Ebene des allgemeinen Kegelschnittes des Büschels als xy-Ebene. Man erhält hieraus als Gleichung des Kegel- schnittes des Büschels(Kegelschnittbüschels) in seiner Ebene:

A2d²x²+(a2d?— ru²) y²— 2 Arzu(u— d) y— Ar?(u— d)?= 0.

Zufolge dieser Gleichung entspricht jedem Punkt+ y“ ein Punkt— X y“, die Gerade y“ halbiert somit die zu x“ parallelen Sehnen, d. h. die conjugierten Diameter der zu g parallelen Sehnen des Kegelschnittbüschels liegen in dem Achsenschnitt, der

den zu g normalen Diameter des Kreises K enthält. Wenn Winkel X'y“= 7 wird

(§ 2, 3), so ist y“ eine Achse des Kegelschnittes d. B., und die andere ist zu g parallel. Demnach liegt die Hälfte der Achsen des Kegelschnittbüschels im charakteristischen Achsenschnitt, wenn g hierzu normal ist, und wenn der Kegel ein Rotationskegel ist, in dem zu g normalen Achsenschnitt. Giebt es mithin einen zu g normalen Achsen- schnitt, so liegt darin die Hälfte der Achsen des Kegelschnittbüschels, während die

andere Hälfte der Achsen d. K. dazu normal ist.

2. Aus der obigen Gleichung folgt weiter, dass von u=— 1 bis u= Lar das Büschel aus Ellipsen besteht, die von zwei Parabeln(den einzigen des Büschels) eingeschlossen werden, die den angegebenen Grenzwerten von u entsprechen. Alle über

die Parabeln hinausliegenden Kegelschnitte des Büschels sind Hyperbeln. Unter den Ellipsen befinden sich zwei besondere, bei denen der zu x' parallele Diameter und der Diameter y“ ein conjugiertes Paar bilden. Sie gehören zu u= 0(Kreis K) und

2 ad cosyz2. 8„, u=— Ea er(Ellipse E, GK'KE Figur 1).

Beide fallen in K zusammen, wenn g zum charakteristischen Achsenschnitt parallel ist und beim Rotationskegel. Die zweite wird ebenfalls zu einem Kreis, wenn g zum charakteristischen Achsenschnitt normal ist, so dass sich für diesen Fall