§ 1.

1. Ein Kegel 2. Ordnung entsteht, wenn die Punkte der Peripherie eines Kreises K von einem Punkte S aus projiciert werden, der ausserhalb der Kreisebene liegt. Der gemeinsame Punkt S der projicierenden Geraden ist das Centrum des Kegels und die Gerade der Punkte O und S seine Achse, wenn O das Centrum des Kreises bedeutet. Wählen wir diese Achse zur z-Achse eines schiefwinkeligen Koordinatensystems, dessen x- und y-Achse zwei zu einander normale Diameter von K sind, so ist O der Nullpunkt des Koordinatentrieders und die Xy-Ebene identisch mit der Kreisebene. Dabei werde die positive Richtung der z-Achse so angenommen, dass für den Punkt 8 die Koordinaten lauten X= 0, y= 0, z= 08=+ d,(wo d ohne Vorzeichen eine posi- tive Zahl ist). Bezeichnet nuner den Radius des Kreises K, so ergiebt sich die Gleichung

der Kegelfläche: dz(X2+. y2)— r²(2z— d)?= 0

oder dax?+(dy— rz+ dr)(dy r⸗— dr)= 0.

dy rz— dr= 0 und dy— rz odr= 0 sind zwei zur X-Achse parallele Tangentenebenen, die den Kegel in den in der Ebene yz gelegenen Kanten SKi und SK berühren(Figur 1). Mithin werden diese Kanten in der Ebene»z durch dieselben Gleichungen dargestellt.

2. Es sei nun die Xy-Ebene eine der Ebenen des gegebenen Ebenenbüschels; sie enthält folglich die Gerade g, die allen Ebenen des Büschels gemeinsam angehort. Die y-Achse legen wir jetzt so fest, dass ihre negative Richtung die Gerade g normal schneidet, die x-Achse also zu g parallel ist. Bezeichnet G(Figur 1) den Sehnitt- punkt von g mit der y-Achse und a die Grösse der Strecke 0G ohne Vorzeichen, so hat G die Koordinaten 0)— a] 0, und g ist durch das System bestimmt: 2= 0, y Pa= 0. Eine Ebene der Geraden g schneidet die-Achse im Unendlichen, denn sie ist zu ihr

parallel, die y-Achse in einer beliebigen Entfernung, die mit u bezeichnet werden soll. Folglich hat diese Ebene die Gleichung:

uy— az au= 0.

Jedem einzelnen Werte von u entspricht eine bestimmte Ebene der Geraden g, allen möglichen Werten von u die ganze Serie Ebenen von g. Unter der Voraussetzung, dass u variabel sei, stellt also die obige Gleichung das Ebenenbüschel der Geraden g dar.

1*