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Stellen, wo in der Hauptdoppelreihe der Permutationen der Zeilen oder Kolonmnen die Nichtpermutationen stehen, von einer gleichen Zahl Nichtdeterminantenglieder durchsetzt wird.
Die oben bei der Hauptdoppelreihe angegebenen Zeichenregeln der Permutationen finden ohne weiteres hier ihre Anwendung; das Zeichen der Permutation gibt das Zeichen des entsprechenden Determinantengliedes an. Und wie man dort die Zeichen über und unter der Hauptdoppelreihe anbringt, so wird man sie hier nach Bedürfnis über und unter dem betreffenden Determinanten-Rechteck verzeichnen.
32. Das Determinantenrechteck für 125n(Regel von Sarrus), n= 4 und n= 5.
Für die Determinante 3. Grades stimmt unser Determinantenrechteck mit dem bereits von Sarrus gegebenen überein, welches aber unseres Wissens bis jetzt noch nicht auf Determinanten n. Grades ausgedehnt war.(Vergl.§ 36.)
Für die Determinante 4. Grades lautet entsprechend der Permutationsdoppelreihe ( 1 2 3 4 1 2 3 1 4 23 1 2 4 3 1 2) das Rechteck
4+
a1 22 ag 24 al 22 ag al 2l 2 ag al al az ag al 22 al a al a2 br b. bz b. e bi b ba b b be ba b be be b e e b b be ci cz cg a-, ei c ca c d c e e e e e V di de da du di de da d. du de da di da ds da di de da de di de
Beim Anschreiben des Rechtecks setzt man am besten erst die Buchstaben hin, ver- sieht die erste Zeile mit der Hauptdoppelreihe der Permutationen als Indizes und schreibt sie für die übrigen Zeilen aus ihr ab.
Für die Determinante 5. Grades entspricht das Rechteck der oben angeschriebenen Hauptdoppelreihe, aus der sich seine Beschaffenheit ohne weiteres beurteilen lässt.
§ 33. Zahlenbeispiel für n= 4. Zahlenbeispiel: +* 4 7 8 3 4 7 8 3 47 8 4 3 7 8 4 7 3 8 4 7 5 9 46 594 6 5 9 4 5 6 9 4 596 4 5 9 1 3 21 1 3 2113 2 11321 31 21 3 7032 703 2703 7 203702370 ** 144— 196+ 0— 135+ 0+ 216— 378+ 240— 108+ 588— 0
56—
+ 252— 0 105— 144+ 0 =— 145.
Man permutiert dabei 4783 zur Hauptdoppelreihe der ersten Zeile und ergänzt dann
die Kolonnen gemäss der gegebenen Determinante. Die Sternchen bezeichnen die Diago- nalen der 4 Nichtdeterminantenglieder.
126+ 504— 96+ 81— 1008+ 0— 140
34. Weitere Abkürzung dieser Daerwitentenberocung i allgemeine Determinanten. Anwendung für n= 3, 4, 5. Handelt es sich um die Ausrechnung nicht numerischer Determinanten, so braucht man das Rechteck gar nicht aufeuschreiben; alsdann genügt die Hauptdoppelreihe der Zeilen- oder Kolonnenpermutationen. Aus ihr lassen sich die Determinantenglieder ohne weiteres ablesen, indem man das Diagonalglied der Reihe nach mit den Permutationen
der Hauptdoppelreihe als Indizes versieht und den Gliedern die Zeichen der Permu- tationen vorsetzt.