II. Anwendung:
Neue Determinantenberechnungen.
§ 30.
Neue Art der Determinantenberechnung.
Es ist ohne weiteres ersichtlich, dass die angegebenen neuen Permutationsverfahren zu neuen Determinantenberechnungen führen, insofern als die Determinante aus ihrem Diagonalgliede durch Permutation der Zeilen- oder Kolonnen-Indizes entwickelt werden kann. Da nämlich das Quadrat der Determinanten Grades in ihren 2 Diagonalen 2 ihrer n! Glieder enthält, von denen die Indizes des einen die Umkehrung der Permutation der Indizes des andern sind, so erhält man alle Glieder der Determinante n. Grades als
— Diagonalglieder von u Determinanten n. Grades, die man aus der gegebenen Determi-
nante mit Hilfe der angegebenen neuen unzyklischen oder zyklischen Permutationsver- fahren durch Permutation der Zeilen- oder Kolonnenindizes ableiten kann.
Obgleich diese Determinantenberechnung sowohl für allgemeine als auch für numer- ische Determinanten Giltigkeit besitzt, so hat sie, wie es zuerst scheint, doch nur
theoretisches Interesse, denn die Aufstellung von Determinanten desselben Grades erfor-
dert mehr Zeit als die Berechnung mit Hilfe der Unterdeterminanten.— Diese Erwägung hat wohl ihre Richtigkeit bei Anwendung der unzyklischen, nicht aber bei Anwendung der zyklischen Permutationsverfahren.
§ 31.
Das Determinantenrechteck als Vereinfachung der vorstehenden Determinantenberechnung.
— Bei Aufstellung der betreffenden 2 Determinanten nach dem obigen zyklischen Per-
mutationsverfahren lassen sich diese Determinanten in ein Rechteck zusammenschieben, das wie unsere obige Hauptdoppelreihe durch Permutation der Zeilen oder Kolonnen nach dem angegebenen Verfahren direkt aufgestellt werden kann, wobei die oben bei dieser Hauptdoppelreihe gefundenen Ersparnisse gegenüber den gewöhnlichen Permutationsver- fahren in ihrem wahren Werte und in grösserer Bedeutung in Erscheinung treten.
Permutiert man die Zeilen der gegebenen Determinante, so erhält man ein vertikales, permutiert man die Kolonnen, ein horizontales Rechteck.
In dem betreffenden Rechteck sind die Diagonalen der vereinigten 2 Determinanten
zu einer kontinuierlichen Doppelreihe von Diagonalen zusammengeschoben, die nur an den