§ 24. Anzahl der Elemente der Hauptdoppelreihe.

Hiernach enthält unsere Hauptdoppelreihe, welche die n! Permutationen von n Ele- menten darstellt, (n- ¹)!

8=(2 n— 1) 2

n 212(n— 2)²(n— 2)! 24

Elemente. § 25. Anzahl der gesparten Elemente der Hauptdoppelreihe. Wenn man die n! Permutationen von n Elementen alle in gewöhnlicher Weise an- schreibt, so braucht man n. n! Elemente, somit spart man bei unserer Darstellung in einer Hauptdoppelreihe

— 1) n

D=n. n!— S= n. n!— En-. 8 5 4(n— 2)²(n— 2)! 4 — n

= n. n!— n!+(2¹) 1 X(n- 2)²(n— 2)! 2 2 4

=(n- 1). n!+ lee* 2 2(n— 2)²(n— 2)! Elemente. 4 § 26.

Zahl der Elemente, Ersparnis u. s. w. für n= 4, 5, 6, 10.

n ist die Anzahl der zu permutierenden Elemente.

.n.. n! ist die Zahl der zu schreibenden Elemente bei gewöhnlichem Permu- tationsverfahren.

3. △+ S ist die Zahl der Elemente bei Darstellung in Doppelreihen, die den Doppel-Zyklen entsprechon.

. S ist die Zahl der Elemente der Hauptdoppelreihe.

. D ist die Ersparnis, die durch Entwicklung der Permutationen in unserer Hauptdoppelreihe eintritt.

6. △ ist die Ersparnis, die durch Zusammenziehung der Doppelreihen in die Hauptdoppelreihe erzielt wird. Folgende kleine Tabelle gibt die Werte dieser 5 Grössen für n= 4, 5, 6, 10.

A

n m. ni A † 8 8 D 4 V 96 21 17 79 4 5 600 108 77 523 31 6 4 320 660 437 3 883 223 10 36 288 000 3447 360 2018 957 34 269 043 1 428 403

27. Ersparnis an Elementen bei den 1 walden angegebenen neuen Permutationsverfahren. Stellen wir die Ersparnisse, die bei den verschiedenen, die Umkehrung der Permu- tationen benutzenden Verfahren erzielen zusammen, so erhalten wir folgende Uebersicht. An Elementen werden erspart:

1. bei Aufstellung sämtlicher umkehrbarer Permutationen durch unzyklische oder

zyklische Versetzung der Elemente

n! n 2.