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§ 19. Die Hauptdoppelreihe für n= 4. Bilden wir beispielsweise bei 4 Elementen aus den obigen Doppelreihen die Haupt- doppelreihe, so erhalten wir für die vorhandenen 24 Permutationen die Darstellung (Kabedabeadebicna bdic a b),

eine Doppelreihe von nur 17 Elementen, wobei das Anschreiben von 24. 4— 17= 79 Elementen gespart ist.

§ 20.

Vorteile der Hauptdoppelreihe. Doch liegt der Vorteil dieser Hauptdoppelreihe, die sämtliche n! Permutationen von n Elementen in sich vereinigt, nicht nur in einer weiteren Ersparnis im Anschreiben von

Elementen, sondern sie lässt sich auch auf Grund des angewandten zyklischen Permu- tationsverfahrens direkt bilden.

§ 21. Neue Art der Bildung der Permutationen durch direkte Darstellung der Hauptdoppelreihe. Hierdurch kommen wir zu einer neuen Aufstellung der Permutationen(durch zyk- lische Versetzung) in einer Hauptdoppelreihe, in der je n benachbarte verschiedene Ele- mente nach rechts gelesen eine Permutation darstellen und nach links gelesen eine zweite, ihre Umkehrung.

Dieses Permutationsverfahren ist jedoch nur für n 3 anzuwenden, da bei n= 3 die erste Doppelreihe schon die Hauptdoppelreihe darstellt, während bei n= 2 die eine der 2 möglichen Permutationen selbst diese Hauptdoppelreihe ist.

Dieses Permutationsverfahren ist das folgende:

1. Man schreibt irgend eine Permutation der gegebenen n Elemente hin(am ein- fachsten in einer Folge mit steigender Ordnungszahl) und fügt rechts nochmals die n— 1 ersten Elemente an.

2. Hierauf permutiert man die n-1 letzten Elemente zyklisch, schreibt aber nur das noch nicht dastehende letzte Element der Permutation hin, setzt das n. Element hinzu und lässt auf es die n— 1 vor ihm stehenden Elemente noch- mals folgen.

3. Diesen Vorgang wiederholt man so lange, bis die Reproduktion der da- stehenden Reihe beginnt, was nach n— 2 maliger zyklischer Versetzung der jedesmaligen n— 1 Endelemente eintreten wird

4. Damit hat man eine Reihe von n-- 1 zusammengehöõrigen Doppel-Zyklen, dar- gestellt in Doppelreihen, aufgestellt.

5. Diese n-— 1 Doppelreihen haben n— 2 Verbindungsstellen mit je n— 2, also im ganzen mit(n— 2)² gemeinsamen Elementen.

6. Nun permutiert man die n- 2 letzten Elemente zyklisch, schreiht wiederum nur das noch nicht dastehende Element hin und lässt der Reihe nach das (n— 1). und n. der letzten n Elemente folgen, wodurch man eine neuo Grund- permutation erhält, aus der man wieder eine Reihe von n- 1 Doppelreihen(mit n— 2 Verbindungsstellen mit je n— 2 gemeinsamen Elementen) ableitet.

7. Beide Reihen haben n— 3 Elemente gemein 1

8. In analoger Weise bildet man noch n- 4 solcher Doppelreihen mit je n—1 Doppelreihen, die den Doppel-Zyklen entsprechen.

9. Diese n— 2 Doppelreihen haben n— 3 Verbindungsstellen, mit je n— 3, also

im ganzen mit(n— 3)² gedeckten Elementen.