— 11— § 16

Anwendung für n= 8. Bei 8 Elementen abedefg h hat diese Doppelreihe die Gestalt a bedefghbedefgh. Setzen wir diese Reihe wieder in Klammer und bringen die nötigen Vorzeichen an, so erhalten wir für die 2 n Permutationen des Doppel-Zyklus die Darstellung (Cabedefghbedefg h). Je 8 benachbarte Elemente dieser Doppelreihe bilden eine Permutation und ihre

Umkehrung. Wir haben für 8 Elemente diesen Doppel-Zyklus durch eine Doppelreihe von

2 8— 1= 15 Elementen dargestellt, während man bei gewöhnlicher Schreibweise 2.8. 8= 128 Elemente anschreiben mäüsste. Es tritt also für einen Doppel-Zyklus 4— 1)1

eine Ersparung von 128— 15= 113 und für die— Doppel-Zyklen eine solche

von 3 4 5 6 7 113= 284760 Elementen ein.

§ 17. Entsprochende Darstellung der Permutationen für n= 3 unden= 4. Fürn= 3 haben wir nur einen Doppel-Zyklus mit der Grundpermutation a b c- Mithin sind die Permutationen von 3 Elementen a b e dargestellt durch die Doppelreihe

(abeab—.). Bei 4 Elementen a b e d haben wir die 3 Doppelreihen (Gabedabe) 1(K beadbe a) 2(Ceabdcab).

Wir sparen hiernach bei Darstellung der Permutationen von 3 Elementen das An- schreiben von — 63— 5= 13, bei 4 Elementen das von 24 4— 21= 96— 21= 75 Elementen.

§ 18 — 1)!

n Abkürzung dieser Darstellung der Permutationen durch Vereinigung der L Doppelreiheu

zu einer Hauptdoppelreihe.

Diese abgekürzte, jedoch vollständige Darstellung der Permutationen von n Elemen- — 1)4 ten durch— Doppelreihen lässt sich noch durch eine einfachere, ebenfalls vollstän-

— 1) dige Darstellung ersetzen. Diese e

2 Doppelreihe zusammenschieben. Aus ihr sind die Rechtspermutationen von links nach rechts, die Linkspermutationen von rechts nach links abzulesen, wobei man wohl am vor- teilhaftesten nach jeder Rechtspermutation gleich ihre Umkehrung setzt.

Hierbei ist jedoch zu bemerken, dass an den Verbindungsstellen der Hauptdoppel- reihen Komplexionen von n Elementen auftreten, die nicht lauter verschiedene Elemente enthalten; diese Komplexionen sind als Nichtpermutationen zu übergehen.

Die Zeichen der Permutationen der Doppelreihen sind in der Hauptdoppelreihe vor, hinter, über und unter der Reihe und zwar vor, hinter, über und unter dem Anfangsele- ment bezüglich Endelement der betreffenden Doppelreihe anzubringen.

Doppelreihen lassen sich nämlich in eine einzige