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macht und die übrigen n- 1 in unveränderter Reihenfolge zufügt, dabei einmal von links nach rechts und dann von rechts nach links liest.

Beispiel: 1) a b e d 1) d cb a 2) b ed a 4) c b a d 3) c d a b 3) b a d c 4) d a b c 2) a d e b Hierbei ergeben sich die Rechtspermutationen in der Folge 1, 2, 3,.„ n, ihre Umkehrungen in der Folge 1, n, n— 1,.., 2, sodass 1 und 1, 2 und n, 3 und n- 1,

n und 2 sich als Umkehrungen entsprechen.

Wünscht man die Umkehrungen in derselben Reihenfolge wie die Rechtspermutationen,

so muss man beim Lesen auf d das Element a folgen lassen, oder man liest zu jeder

Rechtspermutation durch unmittelbare Umkehrung die entsprechende Linkspermutation. Man kann sich dieses Ablesen der Permutationen erleichtern, indem man die Grund-

permutation in Form eines Kreises oder einer Elipse schreibt.

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13. Abgekürzte Dresteart der Doppel-Zyklen.

Wir können hiernach sämtliche Permutationen eines Doppel-Zyklus durch die Grund- permutation angegeben ansehen und wollen die 2 n Permutationen eines Doppel-Zyklus abgekürzt bezeichnen, indem wir die Grundpermutation in eine Klammer einschliessen und ihr Vorzeichen sowie das Gesetz, nachdem es sich ändert, zweckentsprechend hinzuschreiben.

Es ist zweckmässig, die Vorzeichen der Rechtspermutationen links vor die Grundper- mutation und die der Rechtspermutationen rechts hinter dieselbe zu setzen. Letztere kann man jedoch weglassen, falls sie mit ersteren übereinstimmen.

14. Entsprechende Darstellung 45 Permutationen von 4 Elementen. Bei 4 Elementen a bc d haben wir die 3 Grundpermutationen a b e d, b c a d. c a b d Die 3 Doppel-Zyklen der Permutationen von 4 Elementen lauten nach dieser Dar- stellung(a b e d)(b c a d)(c a b d).

Bei n= 4 ist 6) 42*= 6 gerade, also haben nach§ 10 alle Permutationen

wechselnde Zeichen und Links- und Rechtspermutationen dasselbe Zeichen. Wir können mit Berücksichtigung der Zeichen die Permutationen von 4 Elementen schreiben:

(Ha be d)(K be a d)(Kea b d)

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15.

Angenehmere abgekürzte Darstellung 48 2 n Permutationen eines Doppel-Zyklus als

Doppelreihe von 2 n-— 1 Elementen. 1 Etwas länger, aber noch angenehmer zum Ablesen können wir den Doppel-Zyklus abgekürzt darstellen, indem wir die Grundpermutation hinschreiben und an sie die n-— 1 ersten Elemente rechts anfügen. Es stehen nämlich alsdann die 2 n Permutationen des Doppel-Zyklus vollständig da, nur sind sie in eine Reihe(Doppelreihe) von 2 n-— 1 Ele- menten zusammengeschoben, wodurch das Anschreiben von 2 n. n—(2 n— 1) Elementen

gespart wird.

Für alle Doppel-Zyklen beträgt die Zahl der gesparten Elemente

len.n= EH DI l)