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Wenn dagegen n gerade ist, so haben die Permutationen eines Zyklus wechselndes (alternierendes) Zeichen, denn jede wird aus einer der benachbarten durch n— 1, also eine ungerade Zahl von Paarvertauschungen abgeleitet. 3

Die durch Umkehrung erhaltenen Permutationen erhalten wie oben das Vorzeichen

der ursprünglichen Permutation oder das entgegengesetzte, je nachdem 66) gerade oder ungerade ist., 5

Wenn n und gerade Zahlen sind, so haben alle Permutationen des Doppel-

n 6 Zyklus wechselndes Zeichen, und die Zeichen einer Rechts- und der entsprechenden Links- permutation sind gleich. 81

Wenn n und 60) ungerade sind, so haben alle Rechtspermutationen eines Doppel-

Zyklus dasselbe Zeichen, die Linkspermutationen das entgegengesetzte.

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Wenn n gerade und 6) ungerade ist, so haben die Rechtspermutationen eines

Zyklus wechselndes, die Linkspermutationen auch wechselndes, aber das entgegengesetzte Vorzeichen.

Wenn n ungerade und 69) gerade ist, so haben alle Permutationen eines Doppel- Zyklus dasselbe Zeichen.

69) ist gerade, wenn n= 4 k oder n= 4 k+l ist,

69) ist ungerade, wenn n= 4 k+ 2 oder n= 4 k+ 3 ist, wobei k jede positive ganze Zahl sein kann.

§ 11

8. Anwendung dieser Darstellung der Permutationen in der Planimetrie. (n— 1)! . 2 N-Ecke verbinden. Diese geometrische Thatsache wird treffend bewiesen durch unsere

— 1)! Darstellung der Permutationen von n Elementen durch Le! Doppel-Zyklen. Jeder Per-

mutation der n Punkte Ai, Az,. An entspricht 1 N-Eck. Die möglichen n! Permutationen

(n— 1)1 lassen sich aber nach dem angegebenen Verfahren in 11) Doppel-Zyklen von je 2 n

Wenn man n Punkte Al, A,.., An hat, so kann man sie bekanntlich durch

Permutationen darstellen, die durch zyklische Versetzung der n Elemente und Umkehrung — 11

der erhaltenen Permutationen aus den 9nn Grundpermutationen abgeleitet werden. Bei

zyklischer Versetzung der Elemente wechselt der Platz(die Ordnungszahl), nicht aber

die Reihenfolge der Elemente. Bei Umkehrung der Permutationen wird die Reihenfolge

die entgegengesetzte. Mithin ergeben die 2 n Permutationen eines unserer Doppel- Zyklen

(n- 1)!

nur 1 N-Eck. Es gibt demgemäss durch n Puukte nicht n!, sondern nur verschie-

2 dene N-Ecke. § 12..— Das Ablesen der 2 n Permutationen eines Doppel-Zyklus aus der Grundpermutation. Beispiel. Die 2 n Permutationen eines Doppel-Zyklus kann man mühelos aus der Grund- permutation ablesen, indem man der Reihe nach jedes der n Elemente zum Anfangselement