— 8—

wobei wir wieder die 3 ersten Permutationen in eine Zeile schreiben und die aus ihnen abgeleiteten in Kolonnen darunter setzen. 91Ak 1 Wir sehen, dass nach diesem Verfahren die umkehrbaren Permutationen auch in

— 1)! ( 20 Gruppen geordnet erscheinen, die das n. Element in der Diagonale enthalten.

Die Gruppen der abgeleiteten Permutationen und ihre Umkehrungen verhalten sich wieder wie Bild und Spiegelbild. .§ 7. Das vorige Verfahren in etwas geänderter Form. Wenn man bei diesem Verfahren jedes Element erst dann setzt, wenn es zur zyk- lischen Permutation nötig wird, so erhält man ein anderes, aber nur formell von dem

(n--!)!. 2* umkehrbare Permutationen

vorigen verschiedenes Verfahren. Man setzt dabei

von n- 1 der gegebenen n Elemente als vorhanden voraus, fügt an irgend einer Stelle gleicher Ordnungszahl das n. Element hinzu und permutiert zyklisch, so erhält man

— 1)!!

Len— umkehrbare Permutationen. § 8. Beweis der Richtigkeit dieser Verfahren.

Die auf diese Weise erhaltenen Permutationen müssen umkehrbar sein, weil sie nach Weglassung des n. bezüglich n— 1. etc. Elementes umkehrbar sind; denn nehmen wir an, bei der Umkehrung der y. Gruppe trete eine schon in der. Gruppe vorhandene Per- mutation auf. so müssten nach Weglassung des n. Elementes die 2 Permutationen von je n— 1 Elementen, die eine ursprüngliche Permutation und eine durch Umkehrung erhal- tene darstellen, einander gleich sein, was nach Voraussetzung unmöglich ist.

§ 9. Einführung der Begriffe Doppelzyklus, Grundpermutation, Rechtspermutation und Linkspermutation.

Wie wir geseben haben, erscheinen bei dieser Ableitung der umkehrbaren Permu-

41+1 (n 3 1)asSheLteren Gruppen

tationen durch zyklische Versetzung der Elemente diese in

geordnet. Jede Gruppe geht aus von einer umkehrbaren Permutation von na*l der ge- gebenen n Elemente, zu der das n. Element hinzutritt. Durch zyklische Versetzung ent- stehen dann n umkehrbare Permutationen. Eine weitere Fortsetzung der zyklischen Ver- setzung reproduzirt nur immer dieselbe Gruppe von n Permutationen.

Da in jeder Gruppe die letzte Permutation sich an die erste anschliesst, wie diese an die zweite, die zweite an die dritte u. s. w., und da ausserdem jede Permutation der Gruppe umkehrbar ist, so wollen wir jede Gruppe als einen Doppel-Zyklus von Permu- tationen und die erste Permutation eines jeden Doppel-Zyklus als Grundpermutation be- zeichnen, wobei daran zu denken ist, dass jede Permutation des Doppel-Zyklus zur Ab- leitung des ganzen Zyklus, also als Grundpermutation benutzt werden kann.

Eine Permutation, die nach rechts zu lesen ist, wollen wir Rechtspermutation und eine solche, die nach links zu lesen ist, Linkspermutation nennen.

10. Klasse bezüglich Nrrsicda dieser umkehrbaren Permutationen. Das Vorzeichen bezüglich die Klasse jeder Grundpermutation wird bestimmt nach dem Vorzeichen der zugrundeliegenden Permutation von n-— 1 Elementen. Wenn n eine ungerade Zahl ist, so haben alle Permutationen eines Zyklus dasselbe Vorzeichen; denn jede ist aus einer der benachbarten durch n-— 1, also eine gerade Anzahl

von Paarvertauschungen ableitbar. 3