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von n— 1 der gegebenen Elemente das n. und vertauscht es der Reihe nach mit allen linken bezüglich allen rechten Nachbarn, je nachdem man es rechts oder links zu den — 1)!: vorhandenen— Permutationen setzt. Jede der Permutationen von 2 Elementen ist umkehrbar, also kann man hiernach

die umkehrbaren Permutationen von 3, 4, 5,.., n— 1, n Elementen finden. — Die auf diese Weise erhaltenen 2 Permutationen müssen durch Umkehrung lauter

neue Permutationen ergeben, weil sie nach Weglassung des n, n-— I., n— 2. u. s. w. Elementes umkehrbar sind.

Der Beweis für die Richtigkeit unserer Behauptung liegt auch in der Thatsache

—1):

ausgesprochen, dass das n. Element in der Diagonale der rel Gruppen erscheint, in denen die Permutationen von n Elementen auftreten. Durch die Umkehrung der einzelnen Gruppen wird das n. Element in die andere Diagonale der quadratförmigen Gruppen ver- setzt. Die ursprünglichen Permutationen und ihre Umkehrungen erscheinen wie Bild und Spiegelbild, die symmetrisch, aber(ohne Drehung) nicht kongruent sind.

5. *) Klasse bezüglich vresichon Ueſe umkehrbaren Permutationen.

Die Klasse oder das Vorzeichen jeder Permutation bestimmt sich bei diesem Per- mutationsverfahren aus dem Vorzeichen der zugrundeliegenden Permutation nach der be- kannten Regel.

Insbesondere haben eine Permutation und ihre Umkehrung gleiche oder verschiedene

Klassen und Vorzeichen, je nachdem 6) eine gerade oder ungerade Zahl ist; denn eine

Permutation von n Elementen kann durch 1+ 2+ 3+. † n— 1=— 6)

Paarvertauschungen umgekehrt werden. § 6.

n! Bildung von 2 umkehrbaren Permutationen durch zyklische Versetzung der Elemente.

Beispiel für n= 3 und n= 4. —

Vorteilhafter als diese Verfahren zur Aufstellung von 2 umkehrbaren Permutationen ist das folgende, bei dem die Elemente zyklisch versetzt werden. Wir gehen von irgend einer Komplexion der gegebenen n Elemente aus und versetzen der Reihe nach die 3, 4,.„ n ersten oder letzten Elemente zyklisch, während jedesmal die n— 3, n— 4,. nn übrigen Elemente in unveränderter Reihenfolge stehen bleiben.

Beispiel für 3 Elemente: Umkehrungen: a b ec e b a b c a a c b c a b b a c

Beispiel für 4 Elemente:

d a b e d b e a d e ab,

*) Ich gebe gleich bei Aufstellung der Permutationen die Vorzeichen(Klasse) an, um bei der An- wendung auf die Determinantenberechnung nicht auf sie zurückkommen zu müssen.