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Wenn wir die ursprünglichen Permutationen mit ihren Umkehrungen vergleichen, finden wir nur 8 neue, während 4 schon vorhanden sind, wie man aus den 12 ersten Permutationen auch sofort ersehen konnte. Diese 12 Permutationen erhalten nämlich die 6, welche mit a und die 6, welche mit b anfangen. Mehr als, 6 Permutationen, die mit a bezüglich b anfangen, gibt es bei 4 Elementen nicht. Nun endigen aber 2 Permu- tationen mit a und 2 mit b, also müssen unter den 12 Umkehrungen 4 schon vorhandene Permutationen sein. Wir haben hiermit gezeigt, dass diese Permutationsverfahren zur Aufstellang umkehrbarer Permutationen keine Verwendung finden können.

3. G umkehrbaren Perugtatishen, durch unzyklische Versetzung der Elemente. Beispiel für n= 3 und n= 4.

n! Bildung von 2

1 Ich will nun hier 2 Verfahren zur Aufstellung von 2 umkehrbaren Permutationen

angeben, von denen das erste unzyklische, das zweite zyklische Versetzung der Elemente anwendet.

Um 8 umkehrbare Permutationen zu erhalten durch unzyklische Versetzung der Elemente, können wir von irgend einer Komplexion der gegebenen n Elemente aus- gehen. In der vorliegenden Komplexion vertauschen wir der Reihe nach alle Elemente vom 3. bis n. mit allen linken Nachbarelementen oder alle Plemente vom n— 2. bis 1. mit allen rechten Nachbarn.

Beispiel für 3 Elemente:

Umkehrungen:

c b a c b a.

b ce a oder c a b

b a c a c b

Beispiel für 4 Elemente:

a b e d a c b d c a b d a b d c a e d b c a d b a d b c a d c b e d a b d a b e d a c b d e a b

Hierbei schreiben wir die 3 Permutationen, welche durch Versetzung des 3. Elementes entstehen, in die 1. Zeile und setzen die durch Versetzung des 4. Elementes entstehenden in Kolonnen darunter.

Die 12 übrigen Permutationen sind die Umkehrungen dieser, die nur rückwärts zu . 7. 1. n!. lesen sind. Wir sehen, dass bei dieser Ableitung der 2 umkehrbaren Permutationen das

;; n— 1)!;;; n. Element in der Diagonale der 929 auftretenden Gruppen erscheint, in denen die Permutationen geordnet erscheinen. Streicht man das n. Element fort, so steht in jeder Gruppe n mal wiederholt eine umkehrbare Permutation von n—1 Elementen, von der man ausging. —§ 4. Dasselbe Verfahren in etwas geänderter Form.

— Dasselbe Verfahren kann auch in folgender Weise angegeben werden. Um 3 um-

— 1) kehrbare Permutationen zu erhalten, setzt man zu LLn umkeéhrbaren Permutationen