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zahl 3 und dies Verhaͤltniß wiederholt ſich fuͤr jedes andere

uicssholt Element der ngruppe.

Kuͤrzer ließe ſich der Beweis ſo faſſen: Die wiederholten Elemente, geben als reine Wiederholungsgruppen unter ſich nur eine Stellung. Dieſe einzige Stellung bleibt, man mag ſie zu den uͤbrigen Elementen ſtellen, wie man will. Mit⸗ hin wird die Permutation der uͤbrigen nicht durch die Per⸗ mutationszahl dieſer wiederholten Elemente multiplizirt; folg⸗ lich muß man die Permutationszahl, welche aus der Annahme entſpringt, daß alle Elemente verſchieden ſeien durch die Per⸗ mutationszahlen der wiederholten Elemente dividiren.

Anmerkung. Aus der Lehre von den Combinationen ergibt

ſich noch ein anſchaulicherer Beweis, der aber noch dſgeſart werden muß.

52. Lehrſatz. Die Anzahl der Gruppen einer gewiſſen Ordnung in der Wiederholungs⸗Permutation iſt gleich der Fakultaͤt des um 1 erniedrigten Klaſſenexponenten, dividirt durch die Fakultaͤten der Wiederholungsexponenten, welche nach der Fixirung des Anfangselementes uͤbrig ſind.

a P[an- 1 bP 1———n 11 (m= 1) 1p! Beweis. Da das fixirte Element auf die Anzahl keinen Einfluß hat, ſo hat man die Permutationszahl der übrigen Elemente fuͤr die Gruppenmenge der Ordnung zu ſetzen, und ſonach die im Lehrſatz angegebene Zahl.

Zuſatz. 1. Jedes Element kommt in jeder Stelle ſo vielmal vor, als die Zahl der Permutationen des um dieſes Element verminderten Zeigers betraͤgt.

Zuſatz. 2. Die Gruppenzahl der verſchiedenen Ord⸗ nungen iſt demnach nur dann gleich, wenn die Ordnungsex⸗ ponenten und folglich die Diviſoren der Fakultaͤt von n— 1