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51. Lehrſatz. Die Anzahl der Permutationen einer Wiederholungsgruppe iſt gleich der Fakultaͤt des Klaſſenexpo⸗ nenten dividirt durch die Fakultaͤten der Wiederholungsexpo⸗ nenten.

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Beweis. Faͤngt das wiederholte Element a die Ord⸗ nung an, ſo wird es, ſtatt ſovielmal wie ſein Wiederholungs⸗ exponent betraͤgt, nur einmal fixirt. Es fallen alſo m— 1 Ordnungen aus. In der uͤbrig bleibenden Ordnung auf a wird aber ſtattm— 1mal, a nur einmal in die zweite Stelle fixirt; mithin fallen in dieſer Ordnung noch m— 2 Unterordnungen weg; weiter kann a nur einmal in der 3ten Stelle fixirt werden, ſtatt daß dies m— 2mal geſchehen ſollte, und es fallen wiederum m— 3 Ordnungen des dritten Rangs in jeder Unterordnung weg. Und allgemein wird das wie⸗ derholte Element in der Ordnung des rten Ranges ſtatt m — r nur 1mal fixirt werden, ſo daß alſo in der erſten Ord⸗ nung ſtatt im— 1)! Gruppen mit fixirtem a jedesmal nur 1 einzige ſteht. Nun ſteht aber die erſte Ordnung ſelbſt ſtatt m ſolcher Ordnungen. Es ſteht demnach in allen den Faͤllen, wo a die erſte Stelle einnehmen ſollte, ſtatt m.(m— 1)! = m! Gruppen nur eine.

Nun kommt es aber in Hinſicht der Zahl nicht darauf an, ob ein Element in der erſten oder zweiten oder nten Stelle fixirt iſt. Mithin muß das Verhaͤltniß m!: 1 auch noch gelten, wenn a ſtatt in der erſten Stelle, in der zwei⸗ ten, dritten, nten feſtſteht; mithin in allen Ordnungen der Permutation und ſonach in der ganzen Gruppenmenge.

Steht aber in der Gruppenmenge, die vollſtaͤndig n! be⸗ tragen wuͤrde, fuͤr je m! Gruppen nur eine, ſo iſt die An⸗