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Dieser geht für h= 2r in die Oberfläche der Kugel 0= 4 r h

über und liefert den höchst merkwürdigen Satz, dass eine Kugelzone der Mantelfläche eines Cylinders gleichkommt, welcher bei der Höhe der Zone den grössten Kugelkreis zur Grund- fläche hat. Die ganze Kugeloberfläche ist also gleich dem Mantel des sie berührenden Cylinders, welcher den Durchmesser der Kugel zur Höhe hat; sie ist ferner viermal grösser als der grösste Kugelkreis und gleich einem Kreise, der den Durchmesser der Kugel zum Radius hat.

Dieses Herauslesen neuer Lehrsätze aus entwickelten Formeln ist eine nicht zu unterschätzende UÜbung. Ebenso wertvoll sind Vergleiche, welche man zwischen den plani- metrischen und stereometrischen Sätzen anstellen kann, die oft eine überraschende Xhnlichkeit zeigen. Es entsprechen sich namentlich Dreieck und Pyramide, Parallelogramm und Prisma, Stumpf und Trapez, Kreis und Kugel.

Ein notwendiges Hülfsmittel für den stereometrischen Unterricht bilden die perspek- tivischen Zeichnungen und die Vorführung der Körper selbst. Unter einer ebenen Figur sich einen Körper vorzustellen, fällt manchem Schüler nicht leicht. Ein sehr einfaches Mittel, die Figuren körperlich erscheinen zu lassen, besteht darin, dass man die nächsten Linien schärfer zeichnet, als die entfernteren. Die Vergleichung der Pigur mit dem Körper erschliesst dann das richtige Verständnis, das unter allen Umständen erzielt werden muss, wenn mit Erfolg stereometrische Aufgaben gelöst werden zollen Selbst das Klassenzimmer kann man zur Herleitung einiger wichtiger Sätze benutzen. Die 3 verschiedenen Kanten des Zimmers seien a, b und c und die Diagonale desselben d; es folgt dann sofort

d?= a?+ b*+ c2, ein Analogon des Pythagoreischen Lehrsatzes. Bildet die Diagonale d mit den Kanten die bez. Winkel α, 9, y, so wird a= d cos, b= d cos S, c= d cos„ und jene Formel geht über in d?= dꝰ*(cos 2a+ cos 29+ cos 5y), welche nur dann richtig sein kann, wenn cos 2α+† cos*+ cos*= 1.

Beachtet man diesen höchst wichtigen Satz bei einem Tetraeder, in welchem die 3 Seitenkanten auf einander senkrecht stehen, so ergiebt sich die Grundfläche G aus den 3 rechtwinkligen Seitenflächen F, F und Fe durch die Gleichung

G2= F2*+. E², G— 7F2+ FI2+ E2, welche dem Pythagoreischen Lehrsatze ganz und gar entspricht. Man wird auch die gegenseitige Lage von Linien und Ebenen, die körperlichen Ecken, namentlich die Polarecken und die körperlichen Dreiecke hinsichtlich ihrer Seiten und Winkel, sowie ihrer Kongruenz untersuchen, soweit es Zeit und Verhältnisse erlauben. Durch möglichst zahlreiche Lösungen von stereometrischen Aufgaben erzielt man erst das richtige Verständnis in die gegenseitige Lage der einzelnen Elemente eines Körpers. Sie bilden besonders das Vorstellungsvermögen aus, welches die körperlichen Gestalten genau und richtig erfasst haben muss, wenn man Berechnungen an ihnen qurchführen will.