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Die Stereometrie.

Im stereometrischen Unterricht sind an unvollständigen Anstalten hauptsächlich das Prisma und der Cylinder, die Pyramide und der Kegel, der Pyramiden- und der Kegelstumpf und die Kugel mit ihren Teilen zu behandeln. Von allen diesen Körpern sind der Mantel, die Oberfläche und das Volumen zu berechnen. Die Herleitung der Formeln ergiebt sich sehr häufig aus planimetrischen Sätzen und aus einfachen Zerlegungen. Diese leichten Fälle können wir füglich übergehen und unsere Bemerkungen auf die schwierigeren beschränken.

Nach dem„Cavallerischen Princip“ haben alle Körper gleiches Volumen, wenn 1.) ihre Grundflächen, 2.) ihre Höhen und 3.) die in beliebigen, aber gleichen Entfernungen von den Grundflächen und parallel zu ihnen gelegten Schnittflächen gleich sind. Bei ber Pyramide kann nun sehr einfach die dritte Eigenschaft aus den beiden anderen gefolgert werden. Pyramiden sind also inhaltsgleich, wenn sie gleiche Grundfläche und gleiche Höhe haben. Nun kann jedes dreiseitige Prisma durch 2 Diagonalebenen in 3 dreiseitige Pyramiden zerlegt werden, von denen je 2 gleiche Grundfäche und Höhe haben, also einander gleich sind. Das Volumen einer dreiseitigen Pyramide ist sonach gleich dem 3. Teile von dem Volumen eines dreiseitigen Prismas, welches mit ihr gleiche Grunfläche und Höhe hat. Da nun jede Pyramide gleich einer dreiseitigen, wenn sie in dem Inhalte ihrer Grundfläche und in der Höhe mit dieser übereinstimmt, so gilt die Formel

1 = 5 Gh für jede Pyramide. Aus dieser Grundformel folgt sofort das Volumen des Kegels

ſ= 4 r² rh.

Nach ihr können ferner die Inhaltsformeln

V= 16 ſ6s 21 und ⸗. A+ ro+ 4-*

für den Pyramiden- und Kegelstumpf leicht berechnet werden.

Diese Formeln enthalten den Satz: der Pyramiden- wie der Kegelstumpf hat dasselbe Volumen, wie 3 mit ihm gleich hohe Pyramiden bezw. Kegel, von denen 2 die Grundflächen der Stumpfe und der 3. das geometrische Mittel aus diesen zu Grundflächen haben.

Die Kugelzone denkt man sich durch parallele Ebenen in unendlich viele kleine Zönchen zerlegt, welehe man als Mantelflächen von abgestumpften Kegeln auffassen und berechnen kann. Ersetzt man dann in dem erhaltenen Werte das Produkt(os) aus dem Radius o des Mittelkreises und der Seite s durch das gleiche(rh) aus dem Radius r der Kugel und der Höhe h des Zönchens, und addiert schliesslich alle diese Zönchen, so folgt als Inhalt der Zone

. J= 2 r ah.