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. œ. 1 a.1 2) a:)— e)= su(K+ 5): sin F(G— ⸗)= cos F: sin F(8— 7) oder a:(b—()= sin F(G+): sin †(G—).

Beschreibt man um das Dreieck ABC den Kreis und zieht in diesem den Durch- messer BD und die Sehne DC, so ist— BAC= a= BDC und a= 2 r sin a; diese wichtige Gleichung spricht in ganz bestimmter Weise die Abhängigkeit der 3 Grössen a, æ und r eines Dreiecks aus. Dieselbe hätte sich ebenso einfach ergeben, wenn man die Radien nach den Endpunkten von a gezogen hätte.

Der Pythagoreische Lehrsatz ist bereits für das rechtwinklige Dreieck bewiesen und dann für das spitz- und stumpfwinklige gefolgert worden. Der„Kosinus- oder Projektionssatz“ a2= b2+ 2— 2 bc cos α schliesst diesen berühmten Satz für alle Dreiecke in sich und verdiente daher besser den Namen Pythagoreischer Lehrsatz. Er bestätigt zugleich, dass der cos. von einem spitzen

Winkel positiv, von einem stumpfen aber negativ ist.

Haben wir bisher namentlich gesehen, wie die einzelnen Lehren durch die Anschauung gewonnen und zum bleibenden Eigentum gemacht werden können, so wollen wir jetzt einige so auf natürliche Weise herleiten, dass sie zu jeder Zeit entwickelt werden können, ohne dass das Gedächtnis belastet wird. Wir wählen die Formeln sin(a+) und cos(+„), welche für die weitere Entwicklung von fundamentaler Bedeutung sind. Um den Winkel a+†„ darzustellen, drehen wir den peweglichen Schenkel des Winkels a weiter um den Winkel„. Die Winkel(+) und haben dann denselben beweglichen Schenkel, während der be- wegliche Schenkel von a der feste von„ ist. sin( † 5) und cos(+†„) erhält man, wenn man von einem beliebigen Punkte B des beweglichen Schenkels vom Winkel(αα+) die Senkrechte BC auf den festen Schenkel desselben fällt Wollen wir jene Funktionen nun durch sin. und cos. der beiden Winkel« und ausdrücken, so müssen wir vom End- punkte B des beweglichen Schenkels von 5 auf seinen festen die Senkrechte BD fällen, durch welche wir zugleich den beweglichen Schenkel AD von und durch die Senkrechte DE auf den festen Schenkel desselben die Funktionen von a bestimmen. Beachten wir noch, dass die Winkel CBD und a einander gleich sind, weil ihre Schenkel aufeinander senkrecht stehen, und fällen von D die Senkrechte DF auf B, so lassen sich auf sehr einfache Weise die Formeln

sin(·aͥ+)= sin a cos Hβ+ cos a sin wie cos(+†)= cos α cos 6βl— sin a sin„ ableiten.

Wenngleich aus diesen Formeln auch die entsprechenden für sin(— S) und cos(.— 8) dadurch abgeleitet werden können, dass man β mit—„ und sin mit— sin„ vertauscht, so dürfte eine entsprechende Berechnung von sin(—„) und cos(— 9) an der Figur doch den Gang dieser und der vorigen Entwicklung noch befestigen.

Aus diesen 4 Grundformeln lässt sich tang(£α„) durch tg α und tg ⁵ leicht berechnen, indem man diese Funktion durch sin. und cos. ausdrückt, wobei cos(αᷣ) = cos a cos β+ sin a sin ⁵ im Nenner erscheint. Da nur die Funktion tg. auftreten soll,