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ab. Dasselbe zeigt sich in noch höherem Grade bei den eine Funktion durch eine andere darstellenden Formeln, welche in den gangbaren Lehrbüchern entweder gar nicht oder auf eine so umständliche Weise hergeleitet werden, dass sie für das Gedächtnis unfassbar erscheinen. Sie springen dagegen sofort in ihrer ungeahnten Einfachheit und Klarheit hervor, wenn in dem rechtwinkligen Dreiecke die Seiten nach einander als Längeneinheit genommen werden. Diese denkbar einfachste Figur belehrt uns jederzeit, dass für

1.) c-= 1 a= sin, b= cos a, sin a+ cos 2a= 1, tg= sin α: cos, cotg a= cos: sin. 2.) c= 1 a= sin a, b= cos«= 1— sin a siu 71— sin a tg== Ll ne 8&A 7 1— sin E. cotg a sin 3.) c=— 1 b= cos, a= sin«= 1— cos 1a 721— cos cos a t— cot——ᷣᷣ 8 G cos α; Lolg a 7-1— cos a: „. tg a 4.) b= 1 a— tg a, c= 71 tg La, sin«=—— — P w. V1 ig a 1 — ⸗—⸗:ʒõ—-:ͦ-:—VB:AV V VB A ʃ— cot— 608 A 71+ ig a. tg a.. —— 1 5.) 4— 1 b= cotg a,= 1 ctg ² j—·ꝛ— 8 a,— eis a, din a 71+ etg a cotg æ 1 cos= 2—, ig=—

771+ cotg. cotg a Zieht man in einem Dreiecke die Höhen und berechnet dieselben durch die so entstehenden rechtwinkligen Dreiecke, so liefern diese Werte sofort den hochwichtigen Sinussatz: a: b: e= sin«: sin ⁶β: sin„ oder—— 85—,. in ganz bestimmter Weise die gegenseitige Abhängigkeit der Seiten und Winkel eines Dreiecks ausspricht, welche die bekannten planimetrischen Sätze nur allgemein ausdrü cken. Tragen wir in dem Dreiecke ABC die kleinere Seite AB auf der grösseren A0 bis D und auf ihrer Verlängerung bis E ab, so enthält das Dreieck EBC die Stücke CE= b+ 6,

CBE= R 4 ½(6— y) und BEC= 5 a. In dem Dreiecke DBC ist CD= b— e,

der

d0—

C680—.(6— y) und BD0= R+ 5 Wenden wir auf diese beiden Dreiecke den

Sinussatz an, so erhalten wir sofort die Mollweideschen FPormeln: . K.; 1..ß 1 1) 4: t e)= sin F: sin( † 5(6—))= sin F: cos 5(G—)

oler a:(b+ G)= cos 5(G+†): cos †(— 7) und