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Winkel, aus Längeneinheiten Grade, Grössen von Drehungen, zu berechnen? Das Mittel finden wir in den KXhnlichkeitssätzen für die rechtwinkligen Dreiecke. Diese sind ähnlich, wenn sie in dem Verhältnisse zweier entsprechenden Seiten oder in einem spitzen Winkel übereinstimmen. Das Verhältnis zweier Seiten, stets eine Zahl, bestimmt also ganz genau die Grösse der Winkel im rechtwinkligen Dreiecke. Demselben spitzen Winkel entspricht umgekehrt stets dasselbe Verhältnis zweier Seiten. Von diesen kann dann die eine berechnet werden, wenn die zweite gegeben ist.

Die Abhängigkeit eines Winkels æ im rechtwinkligen Dreiecke von dem Verhältnisse zweier Seiten ist nun niedergelegt in den Begriffen sin α, cos, tg a, ctg, sec x und cosec. Sie sind vor allen weiteren Untersuchungen recht sicher einzuprägen, da die Winkel aus den Werten dieser Funktionen berechnet werden. Ebenso sind auch in dem rechtwinkligen Dreiecke mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c die Formeln zur Berechnung der Seiten: a= c sin«= c cos Gβ= btga= b cotg 9,

b= e sin= e cos«= a ig— a cotg a und

c= a: sin= a: cos= b: sin= b: cos a recht geläufig einzuüben, so dass dieselben sofort in diesen Formen niedergeschrieben werden, wenn sie zur Anwendung kommen.

Von allen Zweigen der niederen Mathematik enthält die Trigonometrie bei weitem die meisten Formeln, welche teils direkt bei Berechnungen Anwendung finden, teils zur Herleitung anderer Sätze wie zu Vereinfachungen benutzt werden. Als ein notwendiges und unentbehrliches Handwerkszeug müssen dieselben stets zur Verfügung stehen. Da ihre Anzahl aber so gross ist, dass sie kaum von einem noch so guten Gedächtnisse alle sicher behalten werden können, so besteht eine Hauptaufgabe des trigonometrischen Unterrichtes darin, ein stetes Auffinden derselben zu ermöglichen vor allem durch eine einfache und naturgemässe Erklärung der Grundbegriffe und durch eine anschauliche Entwickelung der Formeln.

Von diesem Standpunkte aus ist die frühzeitige Erklärung des Kartesischen oder rechtwinkligen Koordinatensystems sehr zweckmässig, da sich aus seinem Verständnisse die verschiedenen Vorzeichen und Werte der einzelnen Funktionen in den 4 Quadranten von selbst ergeben. Man denke sich um den Nullpunkt O dieses Systems mit einem beliebigen Radius den Kreis gezogen und an diesen die beiden Tangenten durch seine Schnittpunkte mit der X Achse gelegt. Die Winkel entstehen nun dadurch, dass der feste Schenkel mit der positiven Richtung der X Achse zusammenfällt, der bewegliche dagegen sich im ent- gegengesetzten Sinne des Uhrzeigers um den Koordinatenanfang dreht, welche Anschauungen auch der analytischen Geometrie zu grunde liegen. Wählt man für einen beliebigen Centri- winkel den beweglichen Schenkel, hier den Radius des Kreises, als Längeneinheit und projiciert ihn auf die X Achse, so stellen die Katheten dieses rechtwinkligen Dreieckes die genauen Werte von sin und cos dar. Ist dagegen der feste Schenkel konstant, hier der Radius auf der X Achse, so schneidet der bewegliche Schenkel bei seiner Drehung die trigonometrischen Tangenten von allen Winkeln auf den beiden geometrischen ab.

Durch diese Darstellungen werden die einzelnen Funktionen der verschiedensten Winkel ihrem Werte nach bequem durch die Anschauung erfasst und verstanden. Wir stellen uns die betreffende Figur dar und lesen an ihr jene Werte ohne alle Anstrengung