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1)= pDAE= AGO= OAE= F(g-y) 2.) DA0= ACH=—„ 16

4.) AHB= p— g.

5.) AE und OEF treffen sich im Halbierungspunkte G des Bogens BC.— Nach dieser Figur stehen wieder im Verhältnisse der Data: ha, ma und β— y; ha, ta und p— q: r. p— d und—).

Nach deu Gruppenuntersuchungen wird es sich empfehlen, die verschiedenen Kon- struktionen vom Unterschiede der Basiswinkel etwa übersichtlich zusammenstellen und unter- suchen zu lassen, mit welchen Dreiecksstücken dieser in den verschiedenen Hilfsdreiecken auftritt. Wir erwähnen noch, dass auch die Verbindungslinie der Fusspunkte der beiden Seitenhöhen mit der Grundlinie« den Winkel ½β—„ bildet.

Die Anwendung der Proportionen, der Ahnlichkeit der Figuren, der perspektivischen Lage und der Symmetrieachsen auf planimetrische Aufgaben ist sehr fruchtbar und im allgemeinen auch hochst elegant, so dass sie nicht entbehrt werden kann. An die Lehre von der stetigen und harmonischen Teilung, namentlich an die Konstruktion des regelmässigen Zehnecks und an den Apollonischen Satz müssen UÜbungsaufgaben angeschlossen werden. Schliesslich erwähnen wir noch die Konstruktion algebraischer Ausdrücke und ihre Anwendung auf planimetrische Aufgaben.

Es ist hier ein Arbeitsfeld angedeutet, welches natürlich viel zu weit und umfang- reich ist, als dass es neben den anderen grossen mathematischen Gebieten mit jedem Jahr- gange von Schülern eingehend bearbeitet werden könnte. Das ist aber auch nicht nötig. Man kann vielmehr abwechselnd auf diese oder jene Methode mehr Gewicht legen. Vor allem aber sorge man dafür, dass die Lösung der planimetrischen Aufgaben einen wissen- schaftlichen Charakter an sich trage, dass der Schüler sich durch UÜbungen die Fähigkeit erwerbe, mit Erfolg eine Aufgabe anzugreifen.

Manche Gruppen sind nicht erwähnt, weil wir recht gute und brauchbare Werke besitzen, welche in musterhafter Weise die Gruppen und Methoden der planimetrischen Konstruktionsaufgaben behandeln. Namentlich sei verwiesen auf die Werke von Borth, Brockmann, Gandtner und Junghans, A. Hoffmann, Kleyer, Nagel, Lieber und von Lühmann, Petersen(von Fischer-Benzon), Reidt und Schwering.

Die Trigonometrie.

Die Planimetrie lehrt, wie eine Figur aus der nôtigen Anzahl von unabhängigen Stücken konstruiert wird, die Trigonometrie, wie die fehlenden Stücke aus den gegebenen berechnet werden. Die Stücke einer Figur sind nun Linien und Winkel, Grössen, die durch. ganz verschiedene Einheiten gemessen werden. Wie ist es aber möglich, aus den Seiten die