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Dreiecke auf, welches noch den Winkel a an der Spitze enthält, dessen Halbierungslinie wiederum pl. Ort für einen Endpunkt der Grundlinie ist. Da 2 Stücke das rechtwinklige Dreieck eindeutig bestimmen, so kann man mit je zwei jener Grössen verschiedene andece des Dreiecks zusammenstellen und so wiederum eine grosse Anzahl von Aufgaben bilden.

Den Umfang des Dreiecks liefert die Verlängerung der Grundlinie um die anstossende Seite lder die Teiden Endpunkte hinaus. Das Hilfsdreieck hat ausser dem Umfange die

Winkel 5 5 9, 8½ 7, R+ F und die Höhe h.

laur Aufgaben, wie diese Konstruktion des Umfanges, liefert diejenige vermittelst eines anbeschriebenen Kreises. Werden die Seiten a, b und c des Dreiecks ABC von dem einbeschriebenen und dem der Seite a anbeschriebenen Kreise in den Punkten X, Y, Z bezw. Xi, NI, 21 berührt, und sind die Mittelpunkte jener Kreise M und Mu, so ergeben sich

leicht folgende Beziehungen: 1) ATl= AZl= F G † b)=

2.) Ar= A2= FGTe— H= S— a

3.) BX= B7= CXI= CYI= F(a † c— b)= S— b 4.) CX= CY= EXI= BZ= F u ℳ b— c)= S— e 5.) IYII= 221= a

6.) XXI= b— c

7.)= XMMI= XI MI M= 5(6—).

8.) MBM= MCMI= R; der über MM] als Durchmesser beschriebene Kreis ist Ort für B und C, BMCM also ein Sehnenviereck.

9.) MMi teilt XXI= b—c nach dem Verhältnis: oa. Berühren sich überdies die Dreiecksseiten a, b, c und die den Seiten b und c anbeschriebenen Kreise M und Ma bezw. in den Punkten X, Ya, Za und Xg, Y3, Z3, so folgt

10.) X X= b+c; Yg YZ= c+ a und Za Z3= a+ b. 11.) XI Xg= YI Yg= c; Yg YZ= 72 Z3= a; 73 Z1= X XI= b.

Die verschiedenen rechtwinkligen Dreiecke, welche hier auftreten, zeigen ferner, dass

1.) e, b+ c— a und a 2.) Qa, s und æ und 3.) oa, à † b— c und wie ihre ent-

sprechenden Grössen im Verhältnisse der Data stehen.

Eine sehr reiche Ausbeute von Aufgaben erhalten wir, wenn wir um das Dreieck ABC den Kreis mit dem Mittelpunkte O beschreiben und in dem Dreiecke die Höhe AD, die Halbierungslinie AE des Winkels a, welche den Kreis in G schneidet, die Mitteltrans- versale AF und durch A zu B0 die Parallele AH ziehen, die von GO und J geschnitten wird. In dieser Figur ist