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von Aufgaben, als wenn er immer nur Aufgaben löst, die entweder in gar keinem ver- wandtschaftlichen Verhältnisse stehen oder deren Zusammenhang ihm verschlossen bleibt. Ferner kann man bei der gruppenweisen Behandlung der Aufgaben bei gleicher Stundenzahl eine weit grössere Menge von Aufgaben behandeln; man gewinnt also an Zeit. Hat der Schüler eine gewisse Fertigkeit und Übung im Lösen von planimetrischen Aufgaben sich erworben, so sind mit der gründlichen und eingehenden Behandlung der Gruppenfigur zugleich die Aufgaben dieser Gruppe der Hauptsache nach gelöst.

Wir wollen nun diejenigen Gruppen klurz hervorheben, welche an An- stalten, wie der unsrigen, namentlich zu behandeln sind, und an einigen die Art der Behandlung näher besprechen.

Wegen der Wichtigkeit der planimetrischen érter kann mit ihrer Hülfe, soweit dieselben bekannt sind, eine Anzahl von Aufgaben auch hier noch gelöst werden.

Den Unterschied der Seiten stelle man auf zweifache Weise dar. Man trage nicht nur die kleinere Seite c auf der grösseren b, sondern auch die grössere b auf der kleineren c bez. ihrer Verlängerung ab. In beiden Fällen entsteht ein Hilfsdreieck, in welchem ausser

dieser Grösse(b— c) noch der halbe Vnterschied x(6— 7) der Basiswinkel, die Grund-

linie a, die Winkel y be. 2 R— g und R+ 5 bez. R— 5 bez. he auftreten.

Beschreibt man mit der einen Seite um die Spitze den Kreis und verbindet den Schnittpunkt der Grundlinie mit der Spitze, so entsteht ein Hilfsdreieck, welches die Seiten b, c und p— d, den Unterschied der Abschnitte, in welche die Basis durch die Höhe geteilt wird, in dem gegenüberliegenden Winkel noch— p und ferner die Höhe ha enthält.

und schliesslich noch hp

Sehr fruchtbar wird die Figur, wenn man mit der kleineren Seite AB um A den Kreis beschreibt, welcher BC in D, AC in E und die Verlängerung von CA in F schneidet.

Das Dreieck FBC enthält die Stdäcke: b+c, a, 5 a., R+.(6— P), und hp; in dem Dreiecke DFC finden wir b+ c, p— d. y,.(9— p) und R*5(das Viereck FBDE ist ein Sehnenviereck); im Dreiecke EBC zeigen sich: a, b— c,„, 1(G— P), R † 5 und hp; end-

Jich im Dreiecke EDC die Stücke: b— c, pP— d., 5 a und R+.(6—.

Jeder Schüler hat diese Grundfigur in der Klasse zu zeichnen, dann die Grösse der einzelnen Stücke in den auftretenden Hilfsdreiecken zu untersuchen und schliesslich selbst nach ihnen Aufgaben zu bilden. Sind in dieser Weise die Aufgaben einer Gruppe vorbereitet, so kann jeder Schüler mit Erfolg an ihre Lösung herantreten. Dieselbe kann sogar von schwachen Schülern verlangt und in einer Stunde von mehreren Aufgaben geliefert werden. Genügt es doch jetzt, nur die Konstruktionsfigur von den einzelnen Aufgaben anfertigen zu lassen, da die Hauptfigur der Analysis dienen kann.

Die Summe der Seiten und die der Seitenhöhen treten sogar in einem rechtwinkligen