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von innen oder umschliessend berühren. Diese 3 verschiedenen Arten der Berührung müssen auch durch die Zeichnung zur Anschauung gebracht werden bei dem pl. Orte für die Mit- telpunkte aller Kreise mit dem Radius 0, welche einen gegebenen Kreis mit dem Radius r berühren.— Durch Drehungen übertragen sich diese Verhältnisse, wie so manche andere, naturgemäss auch auf den Raum.— Es genügt nicht, die pl. Orter, welche sich aus einem Lehr- satze ergeben, auswendig lernen oder gar abschreiben zu lassen. Sie würden recht bald wieder vergessen sein. Nein, sie müssen vollständig für die verschiedenen Fälle in recht sauberen Figuren dem Schüler klar vor Augen treten und namentlich in vielen Aufgaben zur Anwendung kommen. Nur so ziehen sie als bleibendes Eigentum in den Geist. Es empfiehlt sich sogar, für die pl. Orter andere, etwa blaue oder rote Tinte zu gebrauchen, damit sie klarer hervor- treten und später sofort wieder erkannt werden.

Die leichteren Aufgaben aus der Kreislehre, die im allgemeinen aus den eben besprochenen pl. Ortern gefolgert werden, können im Anschluss an die Sätze oder am Schlusse der Kreislehre in ziemlicher Anzahl gelöst werden. Ebenso schliessen sich die Teilungs- und Verwandlungsaufgaben naturgemäss an die Sätze über die Gleichheit der Figuren an. Namentlich bietet der Pythagoreische Lehrsatz mit seinen Folgerungen viele lehrreiche und zugleich leichte Aufgaben.

In den anderen Abschnitten bezwecken die eingeschobenen Aufgaben vorläufig nur ein besseres und gründlicheres Verständnis der Lehrsätze. Im allgemeinen können die Auf- gaben, welche sich an die Sätze anschliessen, den Ubungsbeispielen zur Erläuterung der grammatikalischen Regeln verglichen werden, während die methodische Behandlung der pl. Aufgaben der Lektüre entspricht.

Die methodische Behandlung der planimetrischen Aufgaben beginnt in Obertertia und wird in der Sekunda fortgesetzt. Die ersten Aufgaben betreffen das allgemeine Dreieck. Zu den Seiten und Winkeln kommen nach einander hinzu die Höhen, die Abschnitte einer Seite, in welche diese durch ihre zugehörige Höhe geteilt wird, die Mitteltransversalen, die Halbierungslinien der Winkel und die Radien der ein-, um- und anbeschriebenen Kreise. Eine grosse Menge der Aufgaben dieser Art muss nach der Schwierigkeit ihrer Lösung angeordnet und vollständig in der Klasse gelöst werden. Sie von den Schülern schriftlich behandeln oder gar zu Hause ausarbeiten zu lassen, das würde zeitraubend und eine Uberbürdung sein.

Während es in früherer Zeit nur Lehrbücher gab, die den einzelnen Abschnitten eine Anzahl von Aufgaben beifügten, welche mit Hülfe der behandelten Sätze und Lehren zu lösen waren, ist in der neueren Zeit kein Mangel mehr an selbständigen Aufgaben- sammlungen. Sie ordnen die Aufgaben in bestimmte Gruppen und schicken diesen die nötigsten Winke und Bemerkungen voraus, was in mehrfacher Hinsicht einen Fortschritt in der Methodik bedeutet.

Die Figuren, welche den einzelnen Gruppen als Prläuterung voraufgehen, bieten verschiedene Hilfsdreiecke, in denen die einzelnen Stücke des Dreiecks in ihrer gegenseitigen Lage erkannt werden. Mit dieser Erkenntnis gewinnt der Schüler noch eine Menge Hilfs- mittel zu Konstruktionen; er dringt in das Wesen und den Zusammenhang einer ganzen Reihe von Aufgaben und erlangt dadurch eine grössere Fertigkeit und Gewandtheit im Lösen